FEM 이산화를위한 약한 형태를 도출하기 위해 부품별로 통합을 사용하는 목적은 무엇입니까?

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강력한 형식의 PDE에서 FEM 형식으로 갈 때 항상 변형 형식을 지정하여이 작업을 수행해야합니다. 이를 위해 일부 (Sobolev) 공간의 요소에 강력한 형식을 곱하고 해당 지역에 통합하십시오. 나는 이것을 받아 들일 수있다. 내가 이해하지 못하는 것은 왜 Green의 공식을 사용해야합니까 (하나 또는 여러 번)입니다.

나는 주로 포아송 방정식을 사용하여 작업했습니다. 예를 들어 (균일 한 Dirichlet 경계 조건을 사용하여) 예를 들어

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

변형 형태를 형성하는 올바른 방법은

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

그러나 첫 번째 줄에서 표현식을 사용하지 못하게하는 것은 FEM 양식을 얻는 데 사용할 수있는 변형 양식이 아닌가? 쌍 선형과 선형 형태 및 않습니까? 선형 기저 함수 (모양 함수)를 사용하면 강성 행렬이 null 행렬 (무역)이 아니기 때문에 문제가 발생한다는 문제가 있습니까? 그러나 비선형 모양 함수를 사용하면 어떻게됩니까? 여전히 녹색 공식을 사용해야합니까? 내가 필요하지 않은 경우 : 그것은 바람직합니까? 그렇지 않은 경우 변형이지만 약하지 않은 변형이 있습니까? $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ $l(v)=(f, v)$

이제 고차 미분을 가진 PDE를 가지고 있다고 가정 해 봅시다. Green의 공식을 사용하는 방법에 따라 가능한 많은 변형 형태가 있다는 것을 의미합니까? 그리고 그들은 모두 (서로 다른) FEM 근사치를 초래합니까?

pde finite-element elliptic-pde

— 신자
소스

관련 : scicomp.stackexchange.com/questions/667/…

— Paul

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짧은 답변:

아니요, 특정 FEM을 통합하지 않아도됩니다. 그러나 귀하의 경우에는 그렇게해야합니다.

긴 대답 :

가 유한 요소 솔루션 이라고 가정 해 봅시다 . 구간 별 선형 다항식을 기준으로 선택하면 를 취 하면 순서 1 분포 (Heaviside 단계 함수에서 미분을 취하는 것으로 간주)를 얻을 수 있으며 에 를 곱하면 제품이 아닌 이중성 쌍으로 사용할 때 의미가 있습니다 . Riesz 표현 정리는 널 행렬을 얻지 못하며 $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ 상기 내적으로 이중성 쌍을 특성화 할 수 : 위한 소자에 의해 부품 소자에 의해 통합 의 경우 :이 이중성 쌍에 광을 흘렸다 요소를이 삼각 분할에서 $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ $u_h$ $T$ 이것은 지시하는 그 이중성 쌍 표현 소자 간 자속 점프를 포함하는 각 요소의 경계에 통합도 간의 쌍대 쌍주의해야 및 . 각 요소에사라지지 않는 가있는 2 차법을 사용하더라도이요소간 플럭스 점프가 존재하기 때문에 내부 제품으로 를쓸 수 없습니다. $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ $\Delta$ $(\Delta u, v)$
$W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$ Ritz-Galerkin 기능과 동일한 정신을 지니고 있기 때문에 유한 요소 공간에서 기능을 최소화하는 유한 요소 공식화는 부품별로 통합 할 필요가 없습니다.

— 슈 하오 카오
소스

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$H^2$ $H^2$

— 리드 애치슨
소스

1

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

1

당신이 말하는 것은 본질적으로 옳습니다. 2 차보다 높은 PDE의 경우 혼합 된 공식을 작성하는 것이 도움이 될 수 있으므로 더 높은 규칙 공간을 사용할 필요 는 없습니다 . 이 문제를 피하기 위해 점프 페널티와 같은 다른 기술을 사용할 수도 있습니다. 그러나 전형적인 FEM 답변의 경우 더 높은 규칙 성이 필요합니다.

— Reid. Atcheson 2016 년

2

대칭의 중요성을 강조하겠습니다. 차동 연산자가 자체 인접하면 결국 대칭 행렬로 끝날 것으로 예상됩니다. 부품별로 통합하지 않으면 그렇지 않습니다.

— Stefano M

1

계산상의 이점은 그것을 추가 할 때 나의 주된 생각 이었지만 대칭의 이론적 인 이점도 있습니다 (이산 법이 비대칭 인 경우에도 타원의 경우에도 유지 될 수있는 사실에 대한 더 쉬운 증거를 제외하고)?

— Reid. Atcheson

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이 페이지에 이미 훌륭한 답변이 있지만 여전히 작은 부분이 있습니다.

OP는 물었다 :

이제 고차 미분을 가진 PDE를 가지고 있다고 가정 해 봅시다. Green의 공식을 사용하는 방법에 따라 가능한 많은 변형 형태가 있다는 것을 의미합니까? 그리고 그들은 모두 (서로 다른) FEM 근사치를 초래합니까?

Neumann 유형의 경계 조건이있는 경우 부품으로 ( 정확한 방식으로) 통합하는 것이 중요합니다. 실제로 ibp에서는 변형 공식에서 Neumann bc를 고려합니다. Neumann bc의 형식은 부품별로 통합하는 방법에 따라 다릅니다. 선형 탄성의 부품 별 통합에 대한 이 답변 . 따라서 2 차 타원 PDE의 경우에도 Neumann 또는 혼합 경계 조건에 유효한 변형 공식을 복구하려면 주어진 방식으로 부품 별 통합을 수행해야합니다. (물론 이것은 FEM으로 이산한다는 사실과 상관없이).

Neumann bc가 잘 정의 된 의미 (열유속, 응력 ...)를 갖는 수학적 물리학에서 결과에 대한 정확한 해석을 유지하려면 부품 별 통합이 중요합니다. 균질 한 Dirichlet 조건 및 FEM의 경우에도 마찬가지입니다. Lagrange multiplier 방법을 사용하여 bc를 적용하면 multiplier는 집중된 플럭스 또는 힘과 같은 물리량이됩니다.

— 스테파노 M
소스