선형 결함 수정보다 느린 FAS 멀티 그리드?

선형 결함 수정 (LDC)과 완전 근사법 (FAS)을 모두 사용하여 V-Cycle 멀티 그리드 솔버를 구현했습니다.

내 문제는 다음과 같습니다. LDC를 사용하면 잔차가 사이클 당 ~ 0.03 배 줄어 듭니다. FAS 구현은 선형 계수와도 수렴하지만 그 계수는 ~ 0.58에 불과합니다. 따라서 FAS는 사이클 수의 약 20 배가 필요합니다.

대부분의 코드는 공유되지만 유일한 차이점은 다운 / 업 계산, LDC는

아래로 :$u_H:=0,\quad b_H:=I_h^H(b_h-L_hu_h)$

위로 :$u_h:=u_h+I_H^hu_H$

FAS는

아래로 :$u_H:=I_h^Hu_h,\quad b_H:=I_h^Hb_h+L_HI_h^Hu_h-I_h^HL_hu_h$

위로 :$u_h:=u_h+I_H^h(u_H-I_h^Hu_h)$

내 테스트 설정은 Brigg의 "A Multigrid Tutorial, Second Edition", p. 64, 분석 솔루션이 있습니다

$u(x,y)=(x^2-x^4)(y^4-y^2) \quad$ 와$x,y\in [0,1]^2$

Laplace-Operator 로 전형적인 선형 5- 포인트 스텐실을 사용하여 방정식은 입니다. 초기 추측은 입니다.$Lv=\Delta u=:b$$L$$v=0$

의 초기 추측을 사용하여 테스트 설정을 예를 들어 사소한 하면 거의 동일한 수렴 계수가 발생합니다.$u(x,y)=0$$v=1$

다운 / 업 코드 만 다르기 때문에 LDC 결과가 책을 준수하고 FAS도 작동하는 것처럼 보입니다. 동일한 선형 설정에서 왜 그렇게 느려질 지 전혀 모릅니다.

LDC와 FAS에는 초기 추측이 나쁜 경우에만 발생할 수있는 이상한 행동이 있습니다 (예 : 그러나 새로운 미세 그리드에 대한 보간이 에서 잔차를 증가시키는 전체 멀티 그리드 실험에서도 발생합니다. ~ ) : 거친 그리드에서 기계 정밀도로 솔루션이 해결되도록 사후 교정 완화 횟수를 매우 높은 수로 늘리면 한 단계 위로 올라갈 때 거의 모든 숫자가 느슨해집니다. 다음 미세 그리드로.$=0$$10^{-15}$$10^{-1}$

그림이 말보다 더 많은 것을 말하고 있기 때문에 :

// first cycle, levels 0-4
// DOWN
VCycle top 4, start               res_norm 3.676520e+02 // initial residual
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 3.676520e+02
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.520312e+02 // relaxed (2 iterations)
VCycle tau_norm 2.148001e+01 (DEBUG calculation)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 1.049619e+02 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 5.050392e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 3.518764e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.759372e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 1.234398e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 4.728777e+00 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 3.343750e+00 // restricted
// coarsest grid
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 0.000000e+00 // solved
// UP
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 3.738426e+00 // prolonged
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.509429e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 2.512148e-15 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 4.695979e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.469312e+02 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 9.172812e-24 // relaxed (many iterations)

사이클 당 몇 자리 숫자 만 얻을 수 있는지 또는 미세 그리드에 보간하는 동안 오류가 있는지 확실하지 않습니다. 후자의 경우, 항상 2 개의 완화를 사용할 때 LDC가 ~ 0.03의 도서 별 잔존 비율을 달성 할 수있는 방법은 무엇입니까?

비선형 문제에 대해 멀티 그리드를 수행하기 때문에 주로 수정 대신 FAS를 사용하기 때문에 귀하의 답변을 직접 알지 못하지만 몇 가지 생각을 살펴볼 수 있습니다.

• 선형 문제에 선형 보정 체계를 적용하고 있기 때문에 충격을받지 않습니다.

• 경계 조건을 고려하십시오 : 당신이 올바르게하고 있는지 확인하고 복잡한 BC는 거친 그리드에서 완전히 다르게 보일 수 있으므로 수정이 유용하지 않습니다.

• 소스 용어 처리를 다시 확인하십시오. 나는 포아송을 위해 그것을 쓸 때 그 용어와 관련된 연장 단계에서 무언가를 망쳐 놓은 것을 기억합니다.

• 거친 그리드에서 수렴을 반복해야 할 필요성을 본 적이 없습니다. 해결책은 미세 그리드 잔차가 올바른지에 달려 있습니다. 도메인에서 해당 오류를 푸시 / 매끄럽게하려고합니다. 초기 반복에서 가장 거친 그리드에 완전히 수렴 된 경우 잔차가 최신이 아니기 때문에 솔루션이 자연스럽게 올바른 미세 그리드 솔루션과는 거리가 멀습니다. 이것이 거의 확실하게 연장 단계에서 잔차가 증가하는 이유입니다.

• 또한 0.75와 같이 제한 및 연장 연산자 모두에 대해 완화 요소를 시도하십시오.

도움이된다면 FAS 잔류 이력은 전체 7V 사이클을 통해 단일 그리드를 사용하는 포아송 문제에 대한 모습입니다. 나는 이완 계수가 0.75라고 생각하고 각 그리드 레벨에서 단일 반복으로 3 단계 RK 체계를보다 매끄럽게 사용하고있었습니다.

꼭짓점 중심 이산화를 사용하는 경우 사용하는 것으로 보이는 전체 가중치 잔차 제한 대신 상태 제한을 주입해야합니다. 즉, 교체$I_h^H$ 와 $\hat I_h^H$상태를 제한 할 때. 상태에 대해 전체 가중치 제한을 사용하면 적용 후 상태의 고주파 성분에 대한 앨리어싱이 생성됩니다.$u^h \gets u^h (u^H - I_h^H u^h)$거친 보정 전과 동일한 규모로 새로운 소음이 발생합니다 (경계 조건이 특히이 영향의 원인 일 수 있음). 주사를 사용하십시오,$\hat I_h^H u^h$이 문제는 사라져야합니다.

스펙트럼 상태 제한은 높은 2 차 순서 (낮은 주파수의 정확한 보존) 만 필요하지만 1 차 순서 (고주파의 앨리어싱)는 중요하지 않습니다. 주입에는 1 차 차수 0과 무한 2 차 차수가 있습니다. 한편, 잔여 제한은 1 차 및 2 차 차수 모두 양수 여야합니다 (적어도). Achi Brandt의 멀티 그리드 안내서 섹션 4.3을 참조하십시오 .

MG 분석법을 설계 할 때 잔차가 아닌 오차를 확인하고 표준에 적절히 가중치를 부여하는 것이 좋습니다.

나는 지금 문제로 해결했다. 나는 저장했다$u_{old}^H=I_h^Hu^h$ V- 사이클 중에 다운되어 나중에 다시 사용할 때

$u^h\leftarrow u^h+I_H^h(u^H-I_h^Hu^h)=u^h+I_H^h(u^H-u_{old}^H)$.

문제는 $H$ 에 $2H$, $u_{old}^H$제자리 에 편안 했다 . 완화 단계 전에 사본을 저장하면 도움이됩니다. 이후$u_{old}^H$ FAS에만 필요했으며 선형 계산에는 표시되지 않았습니다.