Quantum Monte Carlo에 대한 혼란

내 질문은 이 참조 서에 설명 된 것처럼 QMC 방법에서 관찰 가능 항목을 추출하는 것에 관한 것 입니다.

Path Integral Monte Carlo와 같은 다양한 QMC 방법의 공식 파생을 이해합니다. 그러나 하루가 끝날 무렵에도 이러한 기술을 효과적으로 사용하는 방법에 대해 여전히 혼란스러워합니다.

Quantum MC 방법의 도출에 대한 기본 아이디어는 트로터 근사법을 통해 양자 시스템의 밀도 행렬 또는 시간-진화 연산자 일 수있는 연산자를 트로터 근사를 통해 분리하는 것입니다. 그런 다음 MC 방법으로 처리 할 수있는 추가 차원의 클래식 시스템을 얻습니다.

우리가 해석 할 수있는 점을 감안 양자 운영자에 역 온도 및 허수 모두 시간으로,이 알고리즘의 목적은이 오퍼레이터의 근사치를 계산해야한다. 실제로, 시뮬레이션을 따라 샘플링 된 다양한 구성의 수량을 직접 측정 할 경우, "역 온도"의 경우 기준으로 확률 밀도를 샘플이 있습니다 . 여기서 $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ Trotter 분해에 도입 된 불연속 단계의 수입니다. 대신에, "가상 시간"의 경우, 우리는 다양한 이산 시간 단계에서 샘플을 얻을 것이므로, 시간에 따른 평균도 얻을 수 있습니다. 우리는 또한 같은 수량 확보 할 것 주어진 시간에서 와, 일부 관찰 연산자. $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ $t$ $\hat{A}$

그러나 제 생각에 우리 가 이러한 종류의 시뮬레이션에서 직접 샘플링하는 양은 (페이지의 (5.34), 35 페이지에서 가져온) 것입니다.

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1}{N!} \sum_{P} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

추가 치수를 고려할 때 양자 시스템과 관련된 수량 일 수 없습니다. 대신, 모든 샘플에 시뮬레이션 구성 의 전체 체인을 포함하는 (5.35)와 같은 공식을 통해 올바른 양자 량을 계산할 수 있습니다 . $M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} \sum_{j = 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1})^{2} + \frac{1}{M N} \sum_{j = 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

주어진 관측치에 대한 유용한 정보를 추출하려면 일련의 QMC 시뮬레이션이 필요합니까?

monte-carlo quantum-mechanics

— 핍포
소스

내가 당신을 올바르게 이해했다면, 시스템이 인체 공학적이라면 두 가지 접근법이 동등하다는 것을 알게됩니다.

— Daniel Shapero

@DanielShapero 정확히 동등한 의미는 무엇입니까?

— Pippo

나는 단지 몬테 카를로의 경로를 봤으며 실제로 내가 말한 것을 무시해야합니다. 그것은 관련이 없습니다.

— Daniel Shapero

Quantum Monte Carlo에 대해서는 의심의 여지가 없다고 생각합니다. 그것은 이론적으로 매우 잘 이해되고 엄격하게 뒷받침됩니다 ...

— Nick

β / M

$\beta/M$

β

$\beta$

M

$M$

M

$M$

답변:

귀하의 질문에 많은 혼란이 있습니다. 나에게 가장 중요한 것은 일부 변형 방법과 확산에서 몬테카를로의 적분을 계산하는 "순진한"QMC가 다른 주장과 도출 방식을 가진 다른 방법이라는 것을 놓친다는 것입니다.

그러나 요점은 상상의 시간에 관한 것입니다. 확산에서 몬테카를로의 가상의 시간은 시간 독립적 인 슈뢰딩거 방정식을 시간 의존적 확산 유사 방정식으로 변환하는 트릭으로, 무한한 "시간"한계의 해는 원래 슈뢰딩거 방정식의 해가되는 경향이 있습니다. 그게 다야. DQMC의 시간은 실제가 아닙니다.

상대적으로 좋은하지만 간단한 설명이 주어진다 현대 물리학, 73 리뷰, 33 (2001) .

추신 : 그런데, 당신의 질문에 "Trotter approximation"이 무슨 뜻입니까?

— 미샤
소스

Diffusion MC를 언급 한 적이 없기 때문에이 혼란이 내 질문이라고 생각하지 않습니다. Diffusion MC는 밀도 / 시간 진화 연산자의 이산화에서 시작하지만 그 아이디어는 상당히 다릅니다. 그것).

— Pippo

e^{- β \hat{H}}

$e^{−\beta\hat{H}}$

e^{- τ \hat{H}} \cdot e^{- τ \hat{H}} \cdot . . . \cdot e^{- τ \hat{H}}

$e^{−\tau\hat{H}}\cdot e^{−\tau\hat{H}}\cdot ... \cdot e^{−\tau\hat{H}}$

τ

$\tau$

β / M

$\beta/M$

Btw, 마지막에 시험이 끝날 때 교수에게 직접 묻는 문제를 해결했습니다 (매우 잘 진행되었습니다 : D). 그렇습니다. 우리는 시뮬레이션 된 양을 원하는 양자에 연결시킬 수 없습니다.

— Pippo

@Pippo 그래서 당신이 실제로 의미하는 것은 Path-Integral Monte Carlo입니다. 나는 여전히 당신이 당신의 질문에 이것을 언급하지 않습니다.

— Misha

두 번째 줄 : "Path Integral Monte Carlo와 같은 다양한 QMC 방법의 공식적인 파생을 이해합니다." ;)

— Pippo

사람들은 항상 몬테 카를로 기법을 사용하여 통계적 평균 (시간 분해 정보가 아닌)을 계산하는 것이 좋습니다. 이것이 반드시 계산 되어야 하는 것은 사실이 아닙니다 . 원하는 정보의 종류에 따라 다릅니다. 예를 들어 시간에 따른 외부 강제력이 있고 시스템이 어떻게 반응 하는지를보고 싶을 수도 있습니다.

— 단
소스

답변 주셔서 감사합니다. 나는 내가 요구하는 것에 대해 더 자세히 설명하려고 노력할 것이다. 더 이해하기 쉽도록 인터넷에서 찾은이 작업을 참고하겠습니다. itp.phys.ethz.ch/education/fs12/cqp/chapter05.pdf

— Pippo

Quantum MC 방법의 도출에 대한 기본 아이디어는 Trotter 근사법을 통해 양자 시스템의 밀도 행렬 또는 시간-진화 연산자 일 수있는 연산자를 트로터 근사법을 통해 분리하는 것입니다. 이런 식으로, 우리는 MC 방법으로 처리 될 수있는 추가적인 차원을 가진 고전적인 시스템을 얻습니다.

— Pippo

M

$M$

여기 내 질문이 있습니다. Quantum Monte Carlo 방법에 대한 해석이 옳습니까?

— Pippo

또한 원래 질문을 편집 할 것입니다.

— Pippo