SPD tridiagonal linear 시스템이 주어지면 O (1) 시간에 세 개의 인덱스를 연결할 수 있도록 사전 계산할 수 있습니까?

대칭 양의 명확한 정삼각형 선형 시스템 여기서 및 . 세 개의 인덱스 주어지면 와 hold 사이의 방정식 행만 가정 하면 중간 변수를 제거하여 형식의 방정식을 얻을 수 있습니다

A x = b

$A x = b$

A \in R^{n \times n}

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

b \in R^{n}

$b \in \mathbb{R}^n$

0 \leq i < j < k < n

$0 \le i < j < k < n$

i

$i$

k

$k$

u x_{i} + v x_{j} + w x_{k} = c

$u x_i + v x_j + w x_k = c$ 여기서

입니다. 이 식의 값에 관한

행

"외부"의 영향은 독립적 (영향 제약 경우 말하는

도입 하였다).

v > 0

$v > 0$

x_{j}

$x_j$

x_{i}, x_{k}

$x_i,x_k$

x_{0}

$x_0$

질문 : 선형 시스템 를 시간 에 사전 처리하여 어떤 대한 연결 방정식을 시간 으로 결정할 수 있습니까? $Ax = b$ $O(n)$ $(i,j,k)$ $O(1)$

대각선의 경우 2의 offdiagonals은 및 원하는 결과가 이산화 포아송 방정식에 대한 분석 결과이다. 불행하게도, 3 차원 구조를 파괴하지 않고 일반적인 SPD 3 각형 시스템을 상수 계수 푸 아송 방정식으로 변환하는 것은 불가능하다. 본질적으로 다른 변수는 상이한 수준의 "스크리닝"(국소 적으로 엄격한 양의 정한도)을 가질 수 있기 때문이다. 대각선의 간단한 스케일링 , 예를 들면, 절반 없앨 수 의 자유도 아닌 나머지 절반. $A$ $-1$ $b = 0$ $x$ $2n-1$ $A$

직관적으로,이 문제에 대한 해결책은 문제를 정리하여 선별 량을 선형 크기 배열에 축적 한 다음 어떻게 든 주어진 삼중에 대한 연결 방정식에 도달하기 위해 "취소"할 수 있도록해야합니다.

$O(n)$ $O(1)$

linear-algebra poisson

— 제프리 어빙
소스

답변:

$b = 0$ $n$ $(0,i,n-1)$ $0 \le i < n$

x_{i} = a_{i} x_{0} + b_{i} x_{n - 1}

$x_i = a_i x_0 + b_i x_{n-1}$

$i < j$ $i$ $j$ $x_{n-1}$

\begin{aligned} b_{j} x_{i} & = a_{i} b_{j} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{i} x_{j} & = a_{j} b_{i} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{j} x_{i} - b_{i} x_{j} & = (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) x_{0} \\ x_{i} & = \frac{a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}}{b_{j}} x_{0} + \frac{b_{i}}{b_{j}} x_{j} \end{aligned}

$\begin{aligned} b_j x_i &= a_i b_j x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_i x_j &= a_j b_i x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_j x_i - b_i x_j &= (a_i b_j - a_j b_i) x_0 \\ x_i &= \frac{a_i b_j - a_j b_i}{b_j} x_0 + \frac{b_i}{b_j} x_j \end{aligned}$

$x_0$ $(i,j,k)$ $b_j = 0$ $b_j = 0$

— 제프리 어빙
소스

이것을 구현 한 후에는 (1) 정확한 산술에서 작동하고 (2) 매우 불안정하다는 것을 확인할 수 있습니다. 직관적으로이 솔루션은 지수 함수의 외삽을 많이 수행하여 타원 문제의 훌륭한 보간 특성을 깨뜨립니다.

— Geoffrey Irving

b_{j} \approx 0

$b_j\approx 0$

n \log n

$n\log n$

O (n)

$O(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

A의 순환 축소 인수 분해 (여전히 O (n) 크기라고 생각 함)로 유용한 무언가를 수행 할 수 있는지 궁금해서 A의 연속적인 주요 하위 행렬을 인수 분해 할 때 변경되지 않은 블록을 재사용합니다. 그것은 당신에게 O (1)을 주지만, 아마도 O (log n) ...

— 로버트 브리 슨
소스

O (\log n)

$O(\log n)$

할부 상환 기회가 없습니까?

— Robert Bridson

다른 할부 상환이 진행 중이므로 가능합니다. 그래도 아직 모르겠습니다.

— Geoffrey Irving

: 이것은 내가 비용 멀리 상환 할 필요가 무엇 cstheory.stackexchange.com/questions/18655/...을 .

— Geoffrey Irving 1

큰! 누군가가 그 cstheory 질문에 대한 훌륭한 해결책을 게시 했으므로 더 이상이 질문에 대한 답변이 필요하지 않습니다. 이 질문에서 반 그룹 곱셈 연산은 중간 변수를 제거합니다.

— Geoffrey Irving

다음은 취소 방법보다 안정적이지만 여전히 좋지 않은 다른 시도입니다.

$A$ $B = A^{-1}$

B_{i j} = b_{i + 1} \dots b_{j} \frac{d_{j + 1} \dots d_{n}}{δ_{i} \dots δ_{n}}

$B_{ij} = b_{i+1}\cdots b_j \frac{d_{j+1}\cdots d_n}{\delta_i \cdots \delta_n}$

$i \le j$ $b_i$ $d_i,\delta_i$ $UL$ $LU$ $A$ $i < j < k$

x_{j} = {(\begin{matrix} B_{j i} \\ B_{k i} \end{matrix})}^{T} {(\begin{array}{cc} B_{i i} & B_{i k} \\ B_{k i} & B_{k k} \end{array})}^{- 1} (\begin{matrix} x_{i} \\ x_{k} \end{matrix})

$x_j = \left(\begin{array}{c}B_{ji} \\ B_{ki}\end{array}\right)^T \left(\begin{array}{cc}B_{ii} & B_{ik} \\ B_{ki} & B_{kk}\end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{c}x_i \\ x_k\end{array}\right)$

$i$ $k$ $i$ $k$ $2 \times 2$

[1] : Gerard Meurant (1992), "대칭 대각선 및 블록 삼각형 행렬의 역수에 대한 검토".

— 제프리 어빙
소스