스파 스 선형 시스템은 응용 분야에서 주파수가 증가함에 따라 나타납니다. 이러한 시스템을 해결하기 위해 선택할 수있는 많은 루틴이 있습니다. 최상위 수준에서는 직접 (예 : 희소 가우시안 제거 또는 Cholesky 분해, 특수 순서 알고리즘 및 다중 정면 방법) 방법과 반복적 (예 : GMRES, (bi) 공액 구배) 방법 사이에 유역이 있습니다.
직접 또는 반복 방법을 사용할지 어떻게 결정합니까? 그 선택을 한 후에 어떻게 특정 알고리즘을 선택합니까? 대칭의 활용에 대해 이미 알고 있지만 (예 : 희소 대칭 양의 한정 시스템에 대한 켤레 구배 사용) 방법을 선택할 때 고려해야 할 다른 고려 사항이 있습니까?
답변:
반복 솔버를 선택할 때 중요한 것은 연산자의 스펙트럼입니다 . 이 백서를 참조하십시오 . 그러나, 참조, 많은 부정적인 결과가 이 문서 에는 반복 솔버 모든 문제에 대한 승리하지 이 논문 그들이 어떤 스펙트럼 GMRES에 대한 어떠한 수렴 곡선을 얻을 수있는 것을 증명하는합니다. 따라서 몇 가지 고립 된 경우를 제외하고 반복 솔버의 동작을 예측하는 것이 불가능한 것 같습니다. 따라서 가장 좋은 방법은 직접 솔버가있는 PETSc 와 같은 시스템을 사용하여 모두 시도하는 것 입니다.
직접 방법과 반복 방법 중에서 선택하는 것은 현재 목표와 문제에 달려 있습니다.
직접 메소드의 경우 다음을 참고할 수 있습니다.
반복적 인 방법의 경우 다음을 확인할 수 있습니다.
직접 또는 반복 방법을 사용하는시기에 대한 지침?
나는 이미 주어진 답변에 완전히 동의합니다. 모든 반복적 인 방법에는 일종의 초기 추측이 필요하다고 덧붙였습니다. 이 초기 추측의 품질은 종종 선택한 방법의 수렴 속도에 영향을 줄 수 있습니다. Jacobi, Gauss Seidel 및 Success over Over Relaxation과 같은 방법은 각 단계에서 가능한 한 많은 오류를 반복적으로 "매끄럽게하기"위해 작동합니다 ( 자세한 내용은이 백서 참조).) 처음 몇 단계는 고주파수 오류를 빠르게 줄이지 만 저주파 오류는 매끄럽게하기 위해 더 많은 반복이 필요합니다. 이것이 이러한 방법의 수렴을 느리게 만드는 것입니다. 이와 같은 경우 먼저 저주파 오류를 해결 한 다음 (예 : 거친 메시에서 동일한 문제를 해결 한 후) 더 높은 주파수 오류를 해결하여 (예 : 미세한 메시에서) 수렴을 가속화 할 수 있습니다. 나누고 정복하여이 개념을 재귀 적으로 적용하면 다중 그리드 방법을 얻게됩니다. 선형 시스템이 대칭이 아니더라도, 솔버의 수렴을 가속화 할 수있는 비단 수 희소 행렬 시스템 (예를 들어, 대수 멀티 그리드 방법)에 대한 멀티 그리드 방법의 대안적인 구현이 있습니다. 그러나 병렬 시스템에서의 확장 성은 많은 연구 의 주제입니다..