절대 편차의 합 최소화 (

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데이터 세트 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ 있고 합계 최소화하도록 매개 변수 을 찾고 싶습니다. 그건 $m$

\sum_{i = 1}^{k} | m - x_{i} | .

$\sum_{i=1}^{k}\big|m-x_i\big|.$

min_{m} \sum_{i = 1}^{k} | m - x_{i} | .

$\min_{m}\sum_{i=1}^{k}\big|m-x_i\big|.$

optimization convex-optimization

— Mayenew
소스

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좀 더 자세히 설명해 주시겠습니까?

— 제프 옥스 베리

이 경우 솔루션이 최대 값과 최소값 사이의 중간 점이 아닌가?

— Paul

특히 L1-최소화 합을 최소화 할 수 중앙값 @ 폴하지만이 해석 할 수있는 방법을 알고 싶어요

— mayenew

@ kadu 맞습니다, 중간 값이 해결책입니다. 중앙값을 분석적으로 계산하는 것은 쉽지 않습니다. 정렬하고 중간 값을 가져옵니다.

— David Ketcheson

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아마도 당신은 중앙값이 문제를 해결한다는 증거를 요구합니까? 글쎄, 이것은 다음과 같이 할 수 있습니다 :

목적은 점 단위 선형이므로 점 제외하고 차별화 할 수 있습니다. 목표의 기울기는 몇 점 ? 음, 기울기는 매핑 기울기의 합입니다. 그리고 이것은 ( ) 또는 ( )입니다. 따라서 기울기는 보다 작은 개수를 나타냅니다. $m=x_i$ $m\neq x_i$ $m\mapsto |m-x_j|$ $+1$ $m>x_j$ $-1$ $m<x_j$ $x_i$ $m$ . 사용자는 동일 많으면 기울기가 0이 참조 의 작고보다 큰 (및 짝수 의). 홀수 있으면 '기울기가 다음에 s 은 "middlest"하나의 좌 그것의 우측을 따라서 middlest 하나가 최소이다. $x_i$ $m$ $x_i$ $x_i$ $-1$ $+1$

— 단도
소스

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$O(n\log n)$ $O(n)$

기하 중앙값 문제에 대한 링크는 다차원 사례에 대한 솔루션을 언급합니다.

— 제프 옥스 베리
소스

6

중앙값 측면에서 명시 적 솔루션은 정확하지만 mayenew의 의견에 대한 응답으로 여기에 다른 접근 방법이 있습니다.

$\ell^1$

$z_i,m$

m i n \sum z_{i}

$min \sum z_i$

z_{i} \geq m - x_{i}

$z_i \ge m - x_i$

z_{i} \geq x_{i} - m

$z_i \ge x_i - m$

$z_i$ $|x_i - m|$

— 대수
소스

2

이를 보여주는 과잉 볼록한 분석 방법은 하위 단계를 취하는 것입니다. 실제로 이것은 경사와 관련된 다른 답변 중 일부에서 사용 된 추론과 동일합니다.

$\left|m-x_i\right|$

이면 -1 $m<x_i$

$m=x_i$

$m>x_i$

$m$ $x_1,\ldots x_k$

— cjordan1
소스

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\arg min_{m} \sum_{i = 1}^{N} | m - x_{i} |

$\arg \min_{m} \sum_{i = 1}^{N} \left| m - {x}_{i} \right|$

$\frac{\mathrm{d} \left | x \right | }{\mathrm{d} x} = \operatorname{sign} \left( x \right)$ ${L}_{1}$
$\sum_{i = 1}^{N} \operatorname{sign} \left( m - {x}_{i} \right)$
$m = \operatorname{median} \left\{ {x}_{1}, {x}_{2}, \cdots, {x}_{N} \right\}$

median개별 그룹의 그룹이 고유하게 정의되지 않았 음을 알 수 있습니다.
또한 반드시 그룹 내의 항목 일 필요는 없습니다.

— 로이
소스