유한 요소와 유한 체적 방법의 개념적 차이점은 무엇입니까?

유한 차이와 유한 체적 방법 사이에는 명백한 차이가 있습니다 (방정식의 점 정의에서 셀에 대한 적분 평균으로 이동). 그러나 FEM과 FVM은 매우 유사합니다. 그들은 세포 전체에 대해 완전한 형태와 평균을 사용합니다.

FVM이 아닌 FEM 방법은 무엇입니까? 나는 FEM에 대한 약간의 배경을 읽었으며 방정식이 약한 형태로 작성되었다는 것을 이해합니다.이 방법은 FVM과 약간 다른 진술을합니다. 그러나 나는 개념적 수준에서 차이점이 무엇인지 이해하지 못합니다. FEM이 미지의 셀 내부의 변화에 ​​관한 몇 가지 가정을합니까? FVM으로도 그렇게 할 수 없습니까?

나는 주로 1D 관점에서 왔으므로 FEM이 하나 이상의 차원에서 장점을 가지고 있습니까?

나는이 주제에 관한 많은 정보를 인터넷에서 찾을 수 없었다. Wikipedia에는 ​​FEM이 유한 차분 법과 어떻게 다른지에 대한 섹션이 있지만 그 내용은 http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method 입니다.

유한 요소 : 부피 적분, 내부 다항식 차수

고전 유한 요소법은 연속적이거나 약한 연속 근사 공간을 가정하고 약한 형태의 부피 적분이 충족되도록 요구합니다. 요소 내에서 근사 순서를 올리면 정확도가 높아집니다. 이 방법은 정확히 보수적이지 않기 때문에 종종 불연속 공정의 안정성으로 어려움을 겪습니다.

유한 체적 : 표면 적분, 불연속 데이터의 플럭스, 재구성 순서

유한 체적 방법은 조각 상수 상수 근사 공간을 사용하고 조각 단위 상수 테스트 함수에 대한 적분을 충족하도록 요구합니다. 이것은 정확한 보존 진술을 산출합니다. 부피 적분은 표면 적분으로 변환되고 전체 물리학은 표면 적분의 플럭스로 지정됩니다. 1 차 쌍곡선 문제의 경우 이는 Riemann 해답입니다. 2 차 / 타원 플럭스가 더 미묘합니다. 이웃을 사용하여 요소 내부의 상태에 대한 고차 표현을 (보수적으로) 재구성 (기울기 재구성 / 제한)하거나 플럭스를 재구성하여 (플럭스 제한) 정확도를 높입니다. 재구성 프로세스는 일반적으로 솔루션의 불연속 기능 주변의 진동을 제어하기 위해 비선형 적입니다. TVD (총 변형 감소) 및 본질적으로 비 진동 (ENO / WENO) 방법을 참조하십시오. 매끄러운 영역에서 1 차 정확도보다 높은 정확도와 불연속에 걸친 전체 변형을 동시에 얻으려면 비선형 이산화가 필요합니다.Godunov의 정리 .

코멘트

FE와 FV는 비정형 그리드에서 최대 2 차 정확도를 쉽게 정의 할 수 있습니다. FE는 비정형 그리드에서 2 차를 뛰어 넘기 쉽습니다. FV는 부적합 메시를보다 쉽고 강력하게 처리합니다.

FE와 FV 결합

이 방법은 여러 가지 방법으로 결혼 할 수 있습니다. 불연속 Galerkin 방법은 불연속 기본 함수를 사용하는 유한 요소 방법으로 Riemann 솔버를 획득하고 불연속 프로세스 (특히 쌍곡선)에 대한 견고성을 확보합니다. DG 방법은 비선형 리미터 (보통 정확도의 일부 감소)와 함께 사용될 수 있지만, 제한없이 셀 방식 엔트로피 불평등을 만족 시키므로 다른 체계에서 리미터가 필요한 일부 문제를 제한하지 않고 사용할 수 있습니다. (이 방법은 불연속 인접 수식을 더 연속적인 인접 수식으로 표현하기 때문에 인접 기반 최적화에 특히 유용합니다.) 타원 문제에 대한 혼합 FE 방법은 불연속 기저 함수를 사용하고 일부 구적법을 선택한 후 표준 유한 체적 방법으로 재 해석 할 수 있습니다. , 보다 이 답변을$P_N P_M$

FEM과 FVM의 개념적 차이는 나무와 소나무의 차이만큼 미묘합니다.

특정 FEM 구성표를 특정 문제에 적용된 FVM 이산화와 비교하면 다른 구현 방식과 다른 근사화 속성에서 분명하게 나타나는 근본적인 차이점에 대해 말할 수 있습니다 (@Jed Brown이 그의 답변에서 설명했듯이).

그러나 일반적으로 FVM은 셀 그리드와 부분적으로 일정한 테스트 기능을 사용하는 FEM의 특별한 사례라고 말합니다. 이 관계는 Grossmann, Roos & Stynes ​​: Partial Differential Equations의 Numerical Treatment 에서 찾을 수있는 FVM의 수렴 분석에도 사용됩니다 .

기본적인 차이점은 단순히 결과에 첨부되는 의미입니다. FDM은 솔루션의 모든 측면에 대한 포인트 값을 예측합니다. 이 값들 사이의 보간은 종종 사용자의 상상력에 맡겨집니다. FVM은 특정 제어량 내에서 보존 된 변수의 평균을 예측합니다. 따라서 통합 보존 변수를 예측하고 약한 (불연속적인) 솔루션으로 수렴하는 것으로 표시 될 수 있습니다. FEM은 일련의 기본 함수를 호출하여 어디에서나 대략적인 솔루션을 명확하게 추론 할 수있는 불연속 값 세트를 제공합니다. 반드시 그런 것은 아니지만 일반적으로 관련된 변수는 보수적입니다. 특정 직교 규칙에 따라 어떤 의미에서 보수적 인 유한 차분 법을 가질 수 있습니다.

이것들은 정의의 문제입니다. 세 가지 방법 모두에 많은 변형이 있습니다. 모든 방법이 완전히 한 가지 유형 인 것은 아니며 세부 사항은 응용 분야에 따라 다릅니다. 새로운 방법을 발명 한 연구원들은 찾고자하는 속성을 제공하는 데 도움이되는 도구를 사용합니다. 당신이 찾은 것처럼 권위있는 토론을 찾기가 어렵고, 그것을 제공하기가 어렵습니다. 내가 줄 수있는 최선의 충고는 완전히 명확한 대답을 기대하지 않고 읽기에 계속해서 읽는 것이 당신에게 이해가되는 것입니다.