Krylov 부분 공간 방법을 멀티 그리드에보다 매끄럽게 사용할 수 있습니까?

내가 아는 한, 멀티 그리드 솔버는 Jacobi, Gauss-Seidel 및 SOR과 같은 반복적 인 스무더를 사용하여 다양한 주파수에서 오류를 완화합니다. Krylov subspace 방법 (conjugate gradient, GMRES 등)을 대신 사용할 수 있습니까? 나는 그들이 "스무더 너 (smoothener)"로 분류되지는 않는다고 생각하지만, 거친 그리드 솔루션을 근사화하는데 사용될 수 있습니다. 표준 멀티 그리드 방법에서와 마찬가지로 솔루션과 유사한 수렴을 볼 수 있습니까? 아니면 문제에 의존합니까?

그렇습니다. 그러나 Krylov 방법에는 일반적으로 큰 평활 특성이 없습니다. 이는 잔류 또는 적합한 오류 표준을 최소화하는 적응 방식으로 전체 스펙트럼을 대상으로하기 때문입니다. 여기에는 일반적으로 거친 격자가 잘 처리 할 수있는 일부 저주파 (장파장) 모드가 포함됩니다. Krylov 스무더는 또한 멀티 그리드주기를 비선형으로 만들므로 멀티 그리드를 외부 Krylov 방법의 전제 조건으로 사용하는 경우 외부 방법은 "유연성"이어야합니다 (예 : GCR 또는 FGMRES).

Krylov 스무더를 사용하면 계산해야하는 도트 제품 수가 크게 증가하여 병목 현상이 크게 줄어 듭니다. 그러나 이러한 매력적이지 않더라도 Krylov 스무더는 때로는 유용한 보간 연산자를 사용할 수없는 어려운 문제에 유용합니다.

$\lambda_\max$$D^{-1}A$$D^{-1}$$A$$(0.1 \lambda_{\max}, 1.1 \lambda_{\max})$$1$$5$$5$$10$)는 를 추정하는 데 GMRES 또는 CG의)를 사용 하므로 사용자가 직접 계산할 필요는 없습니다. 의 추정치는 일부 대수 멀티 그리드 방법에서도 전략을 선택하는 데 사용됩니다.$\lambda_\max$$\lambda_\max$

Adams, Brezina, Hu 및 Tuminaro (2003) 는 다항식 스무더의 병렬 및 알고리즘 성능에 대한 훌륭한 논문입니다. 다항식 스무더는 비대칭 문제에 대해 효과가 떨어지거나 공식화하기 어려운 경향이 있으므로 Gauss-Seidel 또는보다 정교한 (블록 / 분산) 이완 기법을 사용하는 것이 좋습니다.