5 차원 이상을 처리하는 유한 요소 소프트웨어가 있습니까?

저는 FE의 초보자입니다. 내 응용 프로그램은 공간이 5 차원 인 금융 파생 상품의 가격입니다. 따라서 시간을 더하면 문제는 6 가지 차원이 있습니다.

나는 둘러 보려고 노력했지만 (Fenics, escript, deal.II, ...), 내 이해는 그 소프트웨어가 3 + 1 (3d 공간 + 1d 시간)으로 제한되어 있다는 것입니다. 이 올바른지?

타겟 언어는 Python 또는 C ++입니다.

내 문제에 대한 설명
매월 투자자가 재투자 할 자유가있는 투자 상품의 가격을 책정하고 싶습니다. 확률 변동성, 확률 이자율 및 확률 적 사망률로 그렇게하고 싶습니다.
스토캐스틱하는 PDE는 다음과 같이 여기서 는 주가와 관련된 시간 종속 상수이고 는 주가에 소음을 발생시키는 독립적 인 Levy 프로세스입니다.. 다른 양의 경우와 유사하게 : 는 변동성와 관련된 시간 의존적 양입니다. 하자시간에 허용 투자를 의미

\begin{aligned} 디 {에스}_{티} & = μ_{티}^{에스} 디_{티} + \sqrt{σ_{티}} 디 비_{티}^{에스} & (스톡) \\ 디 σ_{티} & = μ_{티}^{σ} 디 티 + ν_{티}^{σ} 디 비_{티}^{σ} & (휘발성) \\ 디 {아르 자형}_{티} & = μ_{티}^{아르 자형} 디 티 + ν_{티}^{아르 자형} 디 비_{티}^{아르 자형} & (이자율) \\ 디 큐_{티} & = μ_{티}^{큐} 디 티 + ν_{티}^{큐} 디 비_{티}^{큐} & (인류) \end{aligned}

$\begin{align} dS_t &= \mu^S_t d_t + \sqrt{\sigma_t} dB^S_t &\text{(stock)}\\ d\sigma_t &= \mu^\sigma_t dt + \nu^\sigma_t dB^\sigma_t & \text{(volatility)} \\ dr_t &= \mu^r_t dt + \nu^r_t dB^r_t & \text{(interest rate)} \\ dq_t &= \mu^q_t dt + \nu^q_t dB^q_t & \text{(mortality)} \end{align}$

μ_{t}^{S}

$\mu^S_t$

S

$S$

B_{t}^{S}

$B^S_t$

S

$S$

ν_{t}^{σ}

$\nu^\sigma_t$

σ

$\sigma$

C_{τ}

$C_\tau$

τ

$\tau$ . 추천 스토캐스틱 제어 문제 외모

위의 PDE는 연속적이지만 제품

의 값

V_{τ} = 미디엄 ㅏ 엑스 {씨 \in 씨_{τ} : 피 (죽음) 이자형 ({아르 자형}_{τ} 에프 ({에스}_{τ + 1})) + 피 (ㅏ 엘 나는 V 이자형) 이자형 ({아르 자형}_{τ} V_{τ + 1})} .

$V_\tau = max \left\{ c \in C_\tau : P(\text{death})E(r_\tau f(S_{\tau+1})) + P(alive)E(r_\tau V_{\tau+1})\right\}.$

V_{τ}

$V_\tau$ 미리 정의에 해결

배속, 매달 말한다.

τ

$\tau$

나는 Monte-Carlo가 항상 내 문제를 무력화시킬 수 있다고 생각하지만 매우 느립니다.

확률하는 PDE의 결정 성 형태의
이 부분은 옵션 값 가정 천연에 정의이고 시간 아닌 함께 배속 시간에 투자 . 미분 연산자 정의

V : (티, {에스}_{티}, σ_{티}, {아르 자형}_{티}, 큐_{티}, 씨_{티}) \mapsto (티, V_{티}),

$V : (t, S_t, \sigma_t, r_t, q_t, c_t) \mapsto (t, V_t),$

t

$t$

τ

$\tau$

c_{t}

$c_t$

t

$t$

여기서 시간 종속 상수

는 무시됩니다. 결정론 PDE는이다

온 최적 제어 문제에 적용 할 수

배속.

\begin{aligned} 엘_{티} & = \partial_{아르 자형, 에스} + \partial_{아르 자형, σ} + \partial_{σ, 에스} \\ 엘_{티}^{에스} & = σ_{티} \partial_{에스} + {아르 자형}_{티} \partial_{에스, 에스} \\ 엘_{티}^{아르 자형} & = \partial_{아르 자형} + \partial_{아르 자형, 아르 자형} \\ 엘_{티}^{σ} & = \partial_{σ} + \partial_{σ, σ} \\ 엘_{티}^{큐} & = \partial_{큐} + \partial_{큐, 큐} \end{aligned}

$\begin{align} L_t &= \partial_{r,S} + \partial_{r,\sigma} + \partial_{\sigma,S} \\ L^S_t &= \sigma_t \partial_S + r_t \partial_{S,S} \\ L^r_t &= \partial_r + \partial_{r,r} \\ L^\sigma_t &= \partial_\sigma + \partial_{\sigma,\sigma} \\ L^q_t &= \partial_q + \partial_{q,q} \end{align}$

{μ_{t}^{S}, \dots}

$\{\mu^S_t,\ldots\}$

\partial_{티} V_{티} + (엘_{티} + 엘_{티}^{에스} + 엘_{티}^{σ} + 엘_{티}^{아르 자형} + 엘_{티}^{큐}) V_{티} = 0,

$\partial_t V_t +\left(L_t+ L^S_t + L^\sigma_t + L^r_t+L^q_t\right)V_t = 0,$

τ

$\tau$

pde finite-element

이 문제에 유한 요소를 사용해야합니까? 문제를 좀 더 설명 할 수 있다면 (특히 해결하려는 PDE) 도움이 될 것입니다.

— Victor Liu

@Liu 자세한 내용을 추가했습니다. 나는 MC가 매우 느리기 때문에 FE에 관한 것입니다.

v^{p}

$v^p$

p

$p$

결정적인 PDE를 게시하면 더 나은 답변을 얻을 수 있다고 생각합니다. 독립 변수가 무엇인지 명확히 할 수 있습니까? 지금은 유일한 독립 변수가 시간 인 것 같습니다. 다항식 혼돈 확장을 사용하여 이러한 확률 론적 미분 방정식을 풀고 있습니까? 왜 결정 론적 미분 방정식을 가지게됩니까?

— Geoff Oxberry

한편으로는 적당한 크기와 차원의 저주에서 FE 사용의 복잡성을 처리하거나 MC 이상의 QMC 속도 향상 방법을 사용할 수 있습니다. 후자의 세계는 반드시 더 나쁘지는 않지만 실제로는 여러 가지 이유로 퀀트 세계에서 선택하는 접근 방식이므로 너무 쉽게 해제하는 데주의하십시오.

— Quartz

답변:

5 개의 자산 포트폴리오에서 Black-Scholes 방정식 또는 변형을 풀고 싶다고 가정하면 실제로 5 공간 + 1 시간 차원이 있습니다. EEM 취리히에있는 Chris Schwab 그룹의 일부 사람들은 내 머리 꼭대기에서 그것을 할 수있는 FEM 패키지를 모른다. 스파 스 메시 사용 문제. 그의 간행물을 둘러 보면 운이 좋을 수도 있습니다.

추가 차원이있는 다른 방정식이 있습니다. 한 가지 예는 3 공간 + 1 시간 + 2 각도 + 1 에너지 치수를 갖는 복사 전달 방정식입니다. 이것이 일반적으로 해결되는 방법은 평소와 같이 3 차원 공간을 이산화시킨 다음 별도의 2 차원 및 1 차원 메쉬에서 각 및 에너지 차원을 이산하고 공간 메쉬의 각 절점마다 많은 변수를 갖는 것입니다 각 메시의 각 노드와 에너지 메시의 노드 수를 곱한 값). 우리는이 체계를 deal.II 구현에 성공적으로 사용합니다. 이것은 복사 전달 방정식에 적합하며 방정식이 자연스럽지 않더라도 방정식에 대해 에뮬레이트 될 수 있습니다.

— 볼프강 뱅 거스
소스

분산 및 통합 숫자 환경 ( http://www.dune-project.org ) 인 DUNE 는 임의의 차원 (SGrid 및 Yaspgrid)의 구조화 된 그리드를 제공합니다 ( DUNE의 기능 참조) . 현재 관심있는 경우 위의 그리드 중 하나 인 yaspgrid를 텐서 제품 그리드로 바꾸는 분기가 있습니다. 릴리스 2.0 이후 (현재 버전은 2.2.1이며 2.3이 곧 출시 될 예정 임)부터 임의의 차원을 지원하는 다양한 유한 요소 방법에 대한 참조 요소가 있습니다. 그러므로 변류 모듈 dune-pdelab을 사용 하여 임의의 치수의 유한 요소 이산화를 설정할 수 있어야합니다 . 그러나 이것은 자주 테스트되지 않을 수 있습니다.

그러나 Wolfgang이 지적한 것처럼 차원의 저주가 여전히 있습니다.

자세한 내용은 DUNE 메일 링리스트 를 참조하십시오 .

— 마르쿠스 블랫
소스

알다시피, 시간에 대한 파생 상품 만 있고 다른 것에 대한 파생 상품이 없기 때문에 여러분이 결합한 ODE 세트 인 것처럼 보입니다. 임의의 차원의 ODE 시스템을 해결하기위한 패키지가 많이 있습니다 (Matlab에는 다음과 같은 것들이 있습니다 ode45). 파이썬의 경우이 질문 에서 몇 가지 제안을 찾으십시오 . 마지막으로 netlib 에는 C ++과 매우 쉽게 인터페이스 할 수있는 이전 포트란 코드가 있습니다 (사용 편의성도 중요합니다). 내가 찾은 지 오래 된 이래로 더 좋은 대안이있을 수 있습니다 (다른 사람들은 차임해야합니다).

— 빅터 리우
소스

결정적 PDE를 추가하면 내 질문이 명확하지 않은 것으로 보입니다. 도움을 주셔서 감사합니다.