유한 체적 법으로 Poisson 방정식에 Dirichlet 경계 조건 적용

셀 중심의 비 균일 그리드에서 유한 체적 방법을 사용할 때 Dirichlet 조건이 어떻게 적용되는지 알고 싶습니다.

내 현재 구현은 단순히 첫 번째 셀의 값을 고정하는 경계 조건을 부과합니다.

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

여기서 용액 변수이며 g의 D ( X의 L ) 도메인의 LHS에서 디리클레 경계 조건 값이가 ( NB는 X L ≡ X 1 / 2 ). 경계 조건은 셀의 값을 수정해야하기 때문에이 잘못된 얼굴 이 아닌 값 세포 자체를. 내가 실제로 적용해야하는 것은$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

예를 들어 포아송 방정식을 풀고

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

초기 조건과 경계 조건으로

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

여기서 은 오른쪽의 Neumann 경계 조건입니다.$g_N(x_R)$

수치 해가 어떻게 셀 변수의 값을 왼쪽 의 경계 조건 값 ( )으로 고정했는지 확인하십시오 . 이것은 전체 솔루션을 위쪽으로 이동시키는 영향을 미칩니다. 많은 메쉬 포인트를 사용하면 효과를 최소화 할 수 있지만 문제에 대한 좋은 해결책은 아닙니다.$g_D(x_L)=0$

질문

유한 체적 법을 사용할 때 Dirichlet 경계 조건은 어떤 방식으로 적용됩니까? 난의 값 수정해야 가정 보간 또는하여 외삽에 의해 φ 0 (고스트 포인트) 또는 φ 2 이러한 점을 통과하는 직선에 원하는 값을 가지도록 X의 L을 . 균일하지 않은 셀 중심 메쉬에 대해이 작업을 수행하는 방법에 대한 지침이나 예를 제공 할 수 있습니까?$\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

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최신 정보

제안한 고스트 셀 접근법을 사용하려는 시도는 다음과 같습니다. 합리적으로 보입니까?

셀에 대한 방정식 이다 ( F가 의 자속 나타내는 φ를 )$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

$\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

$\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

그러나이 방법은 불안정한 정의를 복구 했으므로 진행 방법을 잘 모르겠습니다. 조언을 잘못 해석 했습니까 (@Jan)? 이상한 점은 작동하는 것 같습니다. 아래를 참조하십시오.

아래를 참조하십시오.

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

포아송 문제에 대한 안정성과 수렴 (이산 최대 규범에서 첫 번째 순서)은 그리드에 대해 Grossmann & Roos에 의해 입증되었으며 , 1D 사례에 대한 내 그림에서 설명 된 것처럼 실제 경계에 "중심"이있는 뚜렷한 경계 셀이 있습니다.

여기서, 인터페이스상의 미분 지수는 간단한 방식으로 근사된다.

나는 유령 세포 가 두 가지 이유 때문에 일반적인 접근법 이라고 말할 것 입니다.

• 그들은 내 그림에서 설명되었지만 보간 경계 조건을 가진 안정적인 상황을 모방합니다.
• 그것들은 단순히 물리적 경계에 붙어 있습니다. 따라서, 영역의 삼각 측량을 사용할 수 있는데, 또한 유리한 점은 인터페이스에 직접적으로 부과되는 자연 BC를 가지고 있기 때문이다 [ Grossmann & Roos , p. 101].

$\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

여기서 발견하는 것은 유한 체적이 Dirichlet 조건을 나타내는 타원 방정식에 자주 사용되지 않는 이유입니다. 더 자연스러운 조건이 플럭스로 표시되는 보존법에 사용됩니다.

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

$(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

물론, 점검해야 할 한 가지는 경계에서 2 차 근사를 사용하여 이산화의 안정성입니다. 내 머리 꼭대기에서 나는 그것이 내부의 중심 2 차 근사치와 결합되어 안정적인지 여부를 모른다. 매트릭스 안정성 분석으로 확실하게 알 수 있습니다. (경계에서 1 차 근사치가 안정적 일 것입니다.)

고스트 포인트 사용 가능성을 언급했습니다. 이로 인해 내부에서 유령 지점으로 외삽하고 프로세스에서 bc를 사용해야하는 문제가 발생합니다. 적어도 일부 고스트 포인트 처리는 위에서 설명한 종류의 접근 방식을 사용하는 것과 같다고 생각하지만 "증명"하지는 않았습니다.

이것이 조금 도움이되기를 바랍니다.