유한 체적 법으로 Poisson 방정식에 Dirichlet 경계 조건 적용


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셀 중심의 비 균일 그리드에서 유한 체적 방법을 사용할 때 Dirichlet 조건이 어떻게 적용되는지 알고 싶습니다.

셀 중심 격자의 왼쪽입니다.

내 현재 구현은 단순히 첫 번째 셀의 값을 고정하는 경계 조건을 부과합니다.

ϕ1=gD(xL)

여기서 용액 변수이며 g의 D ( X의 L ) 도메인의 LHS에서 디리클레 경계 조건 값이가 ( NB는 X LX 1 / 2 ). 경계 조건은 셀의 값을 수정해야하기 때문에이 잘못된 얼굴 이 아닌 값 세포 자체를. 내가 실제로 적용해야하는 것은ϕgD(xL) xLx1/2

ϕL=gD(xL)

예를 들어 포아송 방정식을 풀고

0=(ϕx)x+ρ(x)

초기 조건과 경계 조건으로

ρ=1gD(xL)=0gN(xR)=0

여기서 은 오른쪽의 Neumann 경계 조건입니다.gN(xR)

푸 아송 방정식의 수치 해

수치 해가 어떻게 셀 변수의 값을 왼쪽 의 경계 조건 값 ( )으로 고정했는지 확인하십시오 . 이것은 전체 솔루션을 위쪽으로 이동시키는 영향을 미칩니다. 많은 메쉬 포인트를 사용하면 효과를 최소화 할 수 있지만 문제에 대한 좋은 해결책은 아닙니다.gD(xL)=0

질문

유한 체적 법을 사용할 때 Dirichlet 경계 조건은 어떤 방식으로 적용됩니까? 난의 값 수정해야 가정 보간 또는하여 외삽에 의해 φ 0 (고스트 포인트) 또는 φ 2 이러한 점을 통과하는 직선에 원하는 값을 가지도록 X의 L을 . 균일하지 않은 셀 중심 메쉬에 대해이 작업을 수행하는 방법에 대한 지침이나 예를 제공 할 수 있습니까?ϕ1ϕ0ϕ2xL


최신 정보

제안한 고스트 셀 접근법을 사용하려는 시도는 다음과 같습니다. 합리적으로 보입니까?

셀에 대한 방정식 이다 ( F가 의 자속 나타내는 φ를 )Ω1Fϕ

F3/2FL=ρ¯

FLΩ0

FL=ϕ1ϕ0h[1]

ϕ0Ω0Ω1xLgD(xL)

gD(xL)=h12hϕ0+h02hϕ1[2]

ϕ0FLϕ1gD(xL)

FL=1h(ϕ11h1(2gDhh1ϕ1))

h0h1

FL=2gDh1+2ϕ1h

Ω0Ω1hh1

FL=2h1(ϕ1gD)

그러나이 방법은 불안정한 정의를 복구 했으므로 진행 방법을 잘 모르겠습니다. 조언을 잘못 해석 했습니까 (@Jan)? 이상한 점은 작동하는 것 같습니다. 아래를 참조하십시오.

아래를 참조하십시오.

업데이트 된 계산, 새로운 접근 방식은 분석적 접근 방식과 매우 잘 일치합니다.


맞습니다, 당신의 파생은 정확합니다. 그리고 그것은 실제로 내 대답에서 (**)라고 부르는 것과 유사합니다. 따라서 안정적인 것으로 입증되었습니다. 답변에 의견을 추가하겠습니다.
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또한, 일반적으로 안정성 결과는 일반적으로 충분한 조건입니다. 즉, 체계가 조건을 충족하지 않으면 상황에 따라 안정적인 결과를 얻을 수 있습니다.
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답변:


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Ω¯iΓD=0()
Rn1ΩRn

(dϕdx)1/2=2h1(ϕ1ϕ1/2)()
()()

포아송 문제에 대한 안정성과 수렴 (이산 최대 규범에서 첫 번째 순서)은 그리드에 대해 Grossmann & Roos에 의해 입증되었으며 , 1D 사례에 대한 내 그림에서 설명 된 것처럼 실제 경계에 "중심"이있는 뚜렷한 경계 셀이 있습니다. 여기에 이미지 설명을 입력하십시오

여기서, 인터페이스상의 미분 지수는 간단한 방식으로 근사된다.

나는 유령 세포 가 두 가지 이유 때문에 일반적인 접근법 이라고 말할 것 입니다.

  • 그들은 내 그림에서 설명되었지만 보간 경계 조건을 가진 안정적인 상황을 모방합니다.
  • 그것들은 단순히 물리적 경계에 붙어 있습니다. 따라서, 영역의 삼각 측량을 사용할 수 있는데, 또한 유리한 점은 인터페이스에 직접적으로 부과되는 자연 BC를 가지고 있기 때문이다 [ Grossmann & Roos , p. 101].

ϕ0ϕ0ϕ1gD


고맙습니다 Jan, 정말 재미 있어요. 그것은 특정 접근법이 불안정한 내 경험을 분명히 모방 할 것입니다. 고스트 셀 접근 방식을 사용하는 경우 중심이 경계에 있도록 마지막 셀을 이동할 필요가 없습니까? 또한 경계 셀을 이동시키는 개념에 문제가 있습니다. 그 세포의 부피가 0이라는 것을 의미하지 않습니까?
boyfarrell

hΓ

hΓ0ϕ1ϕ0

이 방법으로 고스트 셀의 가치에 대한 의존성을 제거 할 수 있습니까? 나는 방정식에 포함되어서 는 안되며 경계 조건을 작성하는 도구 만 사용해야한다고 생각 합니다 . "쉬프트 된"경계 셀에 대하여. 그 점은 유한 체적 방법보다는 유한 차이를 사용하는 것처럼 보입니다. 정확합니까?
boyfarrell

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알았어요 이해합니다! 감사합니다. 오타가 있습니다. 두 번째 단락에서 "따라서 설정에서 접근 [eqn]이 불안정한 경우 알려진 안정성 결과와 모순 되지 않습니다 ." "더"는 없어야합니다 "에" . 이것은 문장의 의미를 뒤집어 원하는 것의 반대를 의미합니다 (생각합니다)!
boyfarrell

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ϕ1ϕ2ϕ1x2x1(x1x0)=0x0xiϕiϕ1ϕ2ϕ1

여기서 발견하는 것은 유한 체적이 Dirichlet 조건을 나타내는 타원 방정식에 자주 사용되지 않는 이유입니다. 더 자연스러운 조건이 플럭스로 표시되는 보존법에 사용됩니다.


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d2ϕdx2=f
(dϕdx)3/2(dϕdx)1/2=x1/2x3/2fdx
(dϕdx)3/2=ϕ2ϕ1h+

(dϕ/dx)1/2ϕ1/2x1/2x1x2h

(dϕdx)1/2=1h(13ϕ2+3ϕ183ϕ1/2)
(dϕdx)1/2=2h1(ϕ1ϕ1/2)

물론, 점검해야 할 한 가지는 경계에서 2 차 근사를 사용하여 이산화의 안정성입니다. 내 머리 꼭대기에서 나는 그것이 내부의 중심 2 차 근사치와 결합되어 안정적인지 여부를 모른다. 매트릭스 안정성 분석으로 확실하게 알 수 있습니다. (경계에서 1 차 근사치가 안정적 일 것입니다.)

고스트 포인트 사용 가능성을 언급했습니다. 이로 인해 내부에서 유령 지점으로 외삽하고 프로세스에서 bc를 사용해야하는 문제가 발생합니다. 적어도 일부 고스트 포인트 처리는 위에서 설명한 종류의 접근 방식을 사용하는 것과 같다고 생각하지만 "증명"하지는 않았습니다.

이것이 조금 도움이되기를 바랍니다.


브라이언 안녕하세요. 플럭스 형식을 사용하여 Dirichlet 경계 조건을 적용하는 것이 가능하지 않다고 생각했습니다 (즉 약하게). 사실 나는 몇 달 전에 scicomp.stackexchange.com/questions/7777/에 그 질문을 했는데 , 나는 이런 식으로 구현하려고 시도했지만, 어떤 이유로 든 구현이 불안정하고 항상 실패했습니다. Dirichlet 조건이 Poisson 방정식에 적용되는 기준 을 알고 있습니까? 표준 이 무엇인지 알고 싶습니다 . 타원 방정식에는 적용되지 않았습니까?
boyfarrell

표준을 모르지만 그러한 모든 구현이 불안정하다고 상상할 수는 없습니다. 매트릭스 분석을 시도 했습니까? 이 경우 수행하는 것이 매우 간단해야합니다. 사람들은 위와 같은 고스트 포인트 처리 및 처리로 Navier-Stokes 방정식을 풉니 다. (물론, 포아송 방정식을 좋은 모델로 간주 할 수있을 정도로 점성 효과는 지배적이지 않습니다.) 아마도이 참조가 도움이 될 것입니다. ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/ …nas.nasa.gov/assets/pdf/techreports/1997/nas-97-011.pdf
Brian Zatapatique

브라이언 안녕하세요. 아니요, 매트릭스 분석을 시도하지 않았습니다. 솔직히 말해서 나는 그것을하는 방법을 너무 확신하지 못한다. 다음 주에이 문제를 다시 살펴볼 시간이 생겨서 새로운 질문을 게시 할 수 있습니다!
boyfarrell

또한 고스트 포인트 (2 차) 외삽 은 불규칙한 (곡선 된) 디 리클 경계 조건 에 대한 고전적인 Shortley-Weller 유한 차분 이산 법에 해당합니다 (예 : Morton and Meyers Partial Differential Equations의 p74에 설명 된대로). 판). (선형 외삽 버전은 Gibou et al. sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999101969773 의 간단한 방법과 동일합니다. ) 또한 선형 및 2 차 외삽 법은 2 차 정확한 솔루션을 제공하지만 1 차 그라디언트 만 선형입니다.
batty
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