2 개의 공간 신호의 공분산 행렬에 관한 질문

공분산 매트릭스를 이해했다고 생각 될 때마다 다른 사람이 다른 공식을 사용합니다.

나는 현재이 논문을 읽고있다 :

J. Benesty, "수동 음원 위치 측정을위한 적응 고유 값 분해 알고리즘" , J. Acoust. Soc. 오전. 볼륨 (107) , 1 호, PP. 384-391 (2000)

그리고 나는 잘 이해하지 못하는 공식을 발견했습니다. 여기서 저자는 두 신호 과 사이의 공분산 행렬을 구성하고 있습니다. 이 두 신호는 다른 센서에서 나온 것입니다.$x_1$$x_2$

한 신호의 공분산 행렬의 경우 회귀 행렬을 계산 한 다음 동일한 행렬의 허미를 곱하고 원래 벡터의 길이 인 나눌 수 있습니다. 여기에서 공분산 행렬의 크기는 임의로 지정할 수 있으며 최대 크기는 입니다.$N$$N\times N$

우리는 에르 미트에 의해 곱 후 첫 번째 행의 제 1 신호와, 매트릭스의 두 번째 행의 제 2 신호를 배치하고, 또한로 나누면 두 공간 신호의 공분산 행렬, , 우리는 얻을 두 공간 신호의 공분산 행렬.$N$$2\times 2$

그러나이 논문에서 저자는 및 4 가지 수학 식을 계산 한 다음이를 수퍼 행렬에 넣고 공분산 행렬이라고합니다. .$R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$$R_2{}_2$

왜 그렇습니까? 다음은 텍스트 이미지입니다.

요소 각각에 두 개의 신호 벡터 및 이 있으면 두 가지 다른 사항을 고려할 수 있습니다.$x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. 어떻게 양 비교? 특히, 신호가 잡음이 있고 잡음이 공동으로 정지 된 (또는 공동으로 넓은 고정 된) 것으로 간주 될 수있는 경우, 이들 양은 두 신호에서의 잡음 분산과 잡음의 공분산을 추정하는 데 사용될 수 있습니다 . 고정 샘플링 시간 이것은 공분산 행렬 의 노이즈 가지고 분산 과 다를 수 있습니다$\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$$R_{2,2} = \sigma_2^2$ , 의 노이즈 분산입니다 . 그러나 잡음은 공분산 와 상관됩니다 . 이제 에서 발생한 일을 무시하고 또는 등에서 일어나는 일을 무시 하고 계획을 세운 다면 이것이 우리가 필요한 모든 정보입니다.$x_2[n]$$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. 잡음이 백색 잡음으로 알려져 있거나 다른 샘플링 순간의 잡음 샘플이 독립적 (따라서 상관되지 않음)이거나 단순히 상관되지 않은 잡음 샘플을 가정하지 않는 한 상관 관계를 고려하지 않음으로써 무시하고 있다는 정보가 있습니다. 사이 및 , 다른 시간 또는 위치에 동일한 프로세스와의 상관 관계로부터 샘플 및 , 다른 시간 또는 위치들에서 두 과정에서 샘플. 이 추가 정보는 더 나은 추정 / 해결 방법으로 이어질 수 있습니다. 이제 총 노이즈 샘플이 있으므로$x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$$2N$$2N \times 2N$공분산 행렬을 고려해야합니다. 저자의 방식대로 문제를 정리하면 여기서 이므로 여기서 입니다. 참고 , 본질적 인 상호 상관 의 함수 및 경우$R_{\text{full}} = E[XX^T]$

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$ 경우 및 자기 상관 함수 입니다. 일 때를 제외하고 노이즈 프로세스가 흰색이고 상관이없는 경우 여기서 는 항등 행렬이고 및 는 위의 항목 1에 정의 된대로입니다. 이 노이즈 모델이 얼마나 현실적인지는 최종 사용자가 결정하는 것입니다. 모형 이 현실적인 경우 행렬 을 보면 아무것도 얻을 수 없습니다.$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$ 모든 정보는 상기 항목 1의 행렬 에 있기 때문에 . 모델이 비현실적이지만 전체 행렬 의 모든 정보를 사용하지 않으려는 경우 (또는 사용할 수없는 경우) ; 우리가 함께 할 것 와 제 1의있는 우리가 필요로하지 않는 또는 , 단지 .$2\times 2$$R_{2\times 2}$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$