함수 샘플에서 Taylor 시리즈 계수 추정

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약간의 노이즈 로 에서 샘플링 된 함수 측정 값이 있다고 가정 하면 Taylor 시리즈 확장으로 추정 할 수 있습니다. 측정에서 해당 확장에 대한 계수를 추정 할 수있는 방법이 있습니까? $y = y(x)$ $x_i$

데이터를 다항식에 맞출 수는 있지만 Taylor 시리즈의 경우 근사값이 중심점에 가까워 질수록 x = 0과 같이 근사값이 더 좋아 져야하기 때문에 정확하지 않습니다. 다항식을 피팅하면 모든 점이 동일하게 처리됩니다.

또한 확장 시점에서 다양한 차수의 미분 계수를 추정 할 수 있지만 사용할 필터를 차별화 할 필터와 필터 계수의 수를 결정해야합니다. 다른 파생물에 대한 필터가 어떻게 든 함께 맞아야합니까?

아무도 이것에 대해 확립 된 방법을 알고 있습니까? 논문에 대한 설명이나 참고가 필요하다.

설명

아래 주석에 대한 응답으로 샘플링은 무한 함수의 직사각형 창으로, 반드시 대역 제한은 아니지만 강한 고주파 성분이 없습니다. 좀 더 구체적으로, 나는 추정기의 매개 변수 (기저 조직의 변형 또는 변형 수준)의 함수로 추정기의 분산 (의료 초음파 신호의 변위 측정)을 측정하고 있습니다. 변형의 함수로 분산에 대한 이론적 테일러 시리즈를 가지고 있으며 시뮬레이션에서 얻은 것과 비교하고 싶습니다.

비슷한 장난감 예제는 다음과 같습니다. ln (x)와 같은 함수가 있고 x에 일정한 간격으로 샘플링되어 약간의 노이즈가 추가되었습니다. 실제로 어떤 기능인지 알지 못하고 x = 5 정도의 Taylor 시리즈를 추정하려고합니다. 따라서이 기능은 관심있는 지점 (예 : 2 <x <8) 주변의 영역에 대해 부드럽고 느리게 변하지 만 반드시 영역 외부에서는 좋지 않습니다.

답은 도움이되었으며, 어떤 종류의 최소 제곱 다항식 적합도는 아마도 경로 일 것입니다. 그러나 추정 된 Taylor 계열이 일반적인 다항식 피팅과 다른 점은 고차 항을 깎을 수 있고 다항식이 원래의 함수와 거의 비슷하게 초기 지점에 대해 더 작은 범위 내에 있어야한다는 것입니다.

따라서 접근 방법은 초기 지점에 가까운 데이터 만 사용하여 선형 다항식 피팅을 수행 한 다음 약간 더 많은 데이터로 이차 피팅을 수행하고 그보다 조금 더 입방체를 사용하는 것입니다.

noise estimators approximation

— 매트
소스

몇 가지 질문 (관련성이있을 수도 있고 그렇지 않을 수도 있음) : 샘플링을 통해 기능이 일부 Fs / 2 주파수 이하로 대역 제한되었음을 의미합니까? 샘플이 무한 함수, 반복 함수 또는 완전한 함수의 직사각형 창입니까?

— hotpaw2

그의 답변에서 Dilip이 지적한 것처럼 Taylor 시리즈 확장을 사용하려면 모든 샘플 포인트에서 함수의 미분에 대한 지식이 필요합니다. 의 미분에 대한 이론적 표현을 활용할 수 있다고 가정 하지만, 이론을 확인하기 위해 독립적 인 시뮬레이션을 사용하는 유틸리티가 다소 줄어 듭니다. 고차 항과 관련하여 Taylor 시리즈의 행동을 가장 잘 모방하기 위해 다른 순서의 다항식을 사용하여 제안한 것과 같은 접근 방식이 유용 할 수 있습니다.

y (x)

$y(x)$

— Jason R

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정확한 다항식 피팅 대신 최소 제곱 피팅을 사용할 수 있습니다 . 맞춤과 측정 된 쌍 사이의 총 제곱 오차를 최소화하는 지정된 차수의 다항식을 찾을 수 있습니다. 이것은 소음에 대한 영향을 완화시키는 데 도움이 될 수 있습니다. $(x_i,y_i)$

도메인 값 ( )에서 함수 의 측정 값 가 주어지면 다항식 ( 인 경우 )을 선택하십시오. 점이 차 다항식을 고유하게 결정 하므로 다항식 피팅 ). 그런 다음 원하는 다항식 계수 에서 선형 인 방정식 시스템을 설정 . $y_i$ $y = f(x)$ $x_i$ $i = 0, 1, \ldots , N$ $M \le N$ $M = N$ $N$ $M$ $p_k$

y_{i} = p_{M} x_{i}^{M} + p_{M - 1} x_{i}^{M - 1} + \dots + p_{1} x_{i} + p_{0}, i = 0, 1, \dots, N

$y_i = p_Mx_i^M + p_{M-1}x_i^{M-1} + \ldots + p_1x_i + p_0, \;\;\;\;\;i = 0, 1, \ldots , N$

최소 제곱 문제는 측정 값을 행렬-벡터 형식으로 배열하여 해결할 수 있습니다.

A = [\begin{array}{cc} x_{0}^{M} & x_{0}^{M - 1} & \dots & x_{0} & 1 \\ x_{1}^{M} & x_{1}^{M - 1} & \dots & x_{1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{N}^{M} & x_{N}^{M - 1} & \dots & x_{N} & 1 \end{array}], y = [\begin{array}{cc} y_{0} \\ y_{1} \\ ⋮ \\ y_{N} \end{array}]

$\mathbf{A} = \left [ {\begin{array}{cc} x_0^M & x_0^{M-1} & \cdots & x_0 & 1 \\ x_1^M & x_1^{M-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_N^M & x_N^{M-1} & \cdots & x_N & 1 \end{array} } \right ], \;\;\mathbf{y}= \left [ {\begin{array}{cc} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_N \end{array} } \right ]$

최소 제곱 솔루션 은 위 선형 시스템에서 총 제곱 오차를 최소화하는 다항식 계수 구성된 벡터를 생성합니다 . 솔루션은 다음과 같이 계산할 수 있습니다. $\left[p_M, p_{M-1}, \ldots , p_0\right]$

\tilde{p} = (A^{T} A)^{- 1} A^{T} y

$\mathbf{\tilde p} = (\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^Ty}$

행렬 은 (는) 행렬 의 의사 역행 이라고도합니다 . 그런 다음 최소 제곱 다항식 계수 벡터 를 사용하여 원하는 다른 값 에서 다항식을 평가할 수 있습니다. $(\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^T}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{\tilde p}$ $x$

— 제이슨 R
소스

1

동일 간격의 가로 좌표의 경우 데이터에 Savitzky-Golay 스무딩을 적용하는 것과 다르지 않습니다.

좋은 답변을 얻으려면 1을 더하십시오. LSE는 실제로 어디에나 있습니다.

— Tarin Ziyaee

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지금은 소음을 무시하십시오.

가 다른 숫자 인 점 이 주어지면 , 이 점을 통해 최대 의 차수 를 맞출 수 있습니다 . 예를 들어 라그랑주 보간이 표준 방법입니다. 그러나 점들이 실제로 곡선 에 있다고 생각되며, 여기서 는 반드시 다항식 일 필요는 없습니다 (예 : 또는 등))이 함수 대한 Taylor 시리즈를 찾고 싶습니다 . 부근에서 에 대한 Taylor 시리즈를 개발 $n+1$ $(x_i,y_i)$ $x_i$ $f(x)$ $n$ $y=g(x)$ $g(x)$ $e^x$ $(x+a)/(x+b)$ $g(x)$ $g(x)$ $x=0$ 예를 들어, 의 값과 미분 값 대한 지식이 필요합니다. 에서 , 공지 된 모든 상태의 값 인 에서 점 . 을 알 수 있도록 일부 대해 경우에도 대해 을 추정 해야합니다. $g(0)$ $g^{(k)}(x) = \frac{\mathrm d^kg(x)}{\mathrm dx^k}, k=1,2,\ldots$ $x=0$ $g(x)$ $n+1$ $x_i$ $x_i = 0$ $i$ $g(0)$ $g^{(k)}(0)$ $k=1, 2, \ldots$

함수의 도함수의 값을 추정하는 에서 의 값으로부터 수치 해석에 잘 연구 문제 및 수식이 사용되도록 선택 점되어 용이하게 사용할 수있다. 무엇되어 있지 이러한 수식에 의해 수득된다는 점이다 상세히 설명, 또는 더 일반적으로 다음 식 근방 전혀 언급하지 다항식 피팅 알려진 점과 추정 와 같은 . 다시 말하면 $g(x)$ $x=0$ $g(x_i)$ $h(x)=\sum_k h_kx^k$ $g^{(k)}(0)$ $h^{(k)}(0) = k!h_k$

에서 점 의 , 우리의 테일러 시리즈 개발할 수 까지만 정도의 기간에 하고, 절단 테일러 시리즈 그냥 포인트 에 적합 된 다항식입니다 . $n+1$ $(x_i,g(x_i))$ $g(x)$ $g(x)$ $n$ $h(x)$ $n+1$

다항식 피팅이란 무엇입니까? 표준 는 잡음이없고 간격이 균등 한 간격이고 이 의 중앙값 일 때 잘 작동하는 Lagrange 보간입니다 . 잡음이 존재하는 경우에, 최소 제곱 정도의 다항식 적합 (투시 JasonR 의해 답변 세부 사항)을 종종 더, 우리의 근방에 정확성을 강조하고 싶은 경우 하는 가중 이내로 할 맞는 사각형을 사용할 수 있습니다. 근방의 포인트에서 오차 항을 더 멀리 가중하면 가중치가 최소화 알고리즘이 근처에 훨씬 더 잘 맞도록 만듭니다. $x_i$ $0$ $x_i$ $m < n$ $x=0$ $0$ $0$ 에서 멀어 질수록 정확도가 떨어집니다 . 물론, 다른 가중치를 선호하거나 가중치를 선호하지 않는 해설자에 대한 가중치 기능의 선택을 방어해야합니다. $0$

예 : 주어 점 , 라그랑주 보간 공식 제공 여기서 와 의 계수 는 "3 표 아브라모 위츠와 Stegun의 25.2에 따른다 "는 제 1 및 제 2 유도체 수식 N'- 포인트 수학 함수 핸드북 이며, 라그랑주 보간 공식 인 기능에 대한 절단 테일러 급수 예컨대 그 입니다. $3$ $(-1,y_{-1}), (0,y_0), (1,y_1)$

\begin{aligned} f (x) & = y_{- 1} \frac{x (x - 1)}{2} - y_{0} (x^{2} - 1) + y_{1} \frac{x (x + 1)}{2} \\ = y_{0} + \frac{y_{1} - y_{- 1}}{2} x + \frac{y_{1} - 2 y_{0} + y_{- 1}}{2} x^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} f(x) &= y_{-1}\frac{x(x-1)}{2} -y_0(x^2-1) + y_{1}\frac{x(x+1)}{2}\\ &= y_0 + \frac{y_1-y_{-1}}{2}x + \frac{y_1-2y_0 + y_{-1}}{2}x^2 \end{align*}$

x

$x$

x^{2}

$x^2$

g (x)

$g(x)$

g (- 1) = y_{- 1}, g (0) = y_{0}, g (1) = y_{1}

$g(-1) = y_{-1}, g(0) = y_0, g(1)=y_1$

— 디립 사르 베이트
소스