쌍 선형 변환에 대한 대안이 있습니까?

아날로그 필터를 기반으로 디지털 필터를 설계 할 때는 일반적으로 쌍 선형 변환을 사용합니다 . 아날로그 (연속) 전달 함수 로부터 이산 전달 함수 를 근사하기 위해 대체합니다$D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

여기서 는 샘플링 기간입니다. 또는, 연속 전달 함수 근사 이산 전달 함수의 우리 대용$T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

그러한 전환을 수행하는 다른 방법이 있습니까? 더 나은 근사값이 있습니까?

극이 S 평면의 왼쪽 절반에 있으면 아날로그 필터가 안정적이며 (왼쪽 그림) 극이 장치 원 안에 있으면 디지털 필터가 안정적입니다 (오른쪽 그림). 따라서 수학적으로 아날로그에서 디지털로 변환하는 데 필요한 모든 것은 반 공간에서 단위 디스크로의 (conformal?) 및 축에서 단위 원 매핑 (conformal?)입니다 . 이를 수행하는 모든 변환은 양자 변환의 대안이 될 수 있습니다.$\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

잘 알려진 두 가지 방법은 임펄스 불변 방법 과 정합 Z- 변형 방법 입니다. 개념적으로,이 두 가지 모두 익숙한 연속 파형을 샘플링하는 것과 유사합니다. 의한 역 라플라스 변환 과 로 Z 변환을 나타내는 두 방법 모두 아날로그 필터의 임펄스 응답을 다음과 같이 계산합니다.$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

및 앨리어싱을 피하기에 충분히 높은 샘플링 간격 에서 를 샘플링하는 단계를 포함한다 . 디지털 필터의 전달 함수는 다음 샘플링 시퀀스에서 얻어진 등의$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

그러나이 둘 사이에는 중요한 차이점이 있습니다.

임펄스 불변량 방법 :

이 방법에서는 아날로그 전달 함수를 부분 분수 ( Peter가 언급 한 일치 Z 변환이 아님)로 확장

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

어디 일부 상수입니다 극이다. 수학적으로 분모보다 분자수가 작은 모든 전달 함수는 부분 분수 의 합으로 표현할 수 있습니다 . 저역 통과 필터 만이 기준을 충족하므로 (고역 통과 및 대역 통과 / 대역 정지의 정도는 적어도 동일하므로) 임펄스 불변 방법을 사용하여 다른 필터를 설계 할 수 없습니다.$C_m$$\alpha_m$

실패한 이유도 분명합니다. 분모에서와 같은 정도의 분자에 다항식이있는 경우, 자유 변형 상수 항을 갖게되며, 이는 역변환시 샘플링 할 수없는 델타 함수를 제공합니다.

역 라플라스 및 순방향 Z 변환을 수행하면 극이 로 변환되어 아날로그 필터가 안정적이면 디지털 필터도 안정적임을 알 수 있습니다. . 따라서 필터의 안정성을 유지합니다.$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

일치하는 Z- 변환

이 방법에서는 임펄스 응답을 부분 분수로 분할하는 대신 및 와 유사한 방식으로 극점과 영점을 단순 변환 (안정성 보존)$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

이 두 가지 방법의 한계를 쉽게 볼 수 있습니다. 임펄스 불변 값은 필터가 저역 통과이고 일치하는 z 변환 방법이 대역 저지 및 대역 통과 필터 (및 나이키 스트 주파수까지의 고역 통과)에 적용 가능한 경우에만 적용됩니다. 또한 실제로 샘플링 속도에 의해 제한되며 (결국 특정 지점까지만 올라갈 수 있음) 앨리어싱의 영향을받습니다.

이중 선형 변환은 실제로 가장 보편적으로 사용되는 방법이며, 위의 두 가지 방법은 학문적 관심을 끌기위한 것입니다. 아날로그로 다시 변환하는 것에 관해서는 유감이지만 아날로그 필터를 거의 사용하지 않으므로 알지 못하고 도움이되지 않습니다.

에서 매핑하는 방법에는 여러 가지가 있습니다 . 제어 사회는 그것에 대해 할 말이 몇 가지있다.$s$$z$

몇 가지 예는 다음과 같습니다.

일치 된 Z 변환

여기에서 도메인 전송 함수는 부분 분수 확장으로 작성됩니다.$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

그리고 부분 분수 확장의 각 부분의 변환은 다음을 사용하여 직접 수행됩니다.

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

심슨의 규칙

이중 선형 변환의 한 가지 해석은 사다리꼴 규칙을 사용한 근사 적분에 의해 연속 시간에서 이산 시간으로 변환하는 방법이라는 것입니다 .

근사 적분을위한보다 정확한 기술은 Simpson 's Rule을 사용합니다. 이 근사값을 사용하면 결과 매핑은 다음과 같습니다.

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$