인체 공학과 고정의 차이점은 무엇입니까?

이 두 개념을 구별하는 데 어려움이 있습니다. 이것은 지금까지 나의 이해입니다.

고정 프로세스는 통계적 속성이 시간에 따라 변하지 않는 확률 적 프로세스입니다. 엄밀한 정지 과정의 경우, 이는 결합 확률 분포가 일정하다는 것을 의미합니다. 광범위하게 고정 된 프로세스의 경우 이는 1 차 및 2 차 모멘트가 일정 함을 의미합니다.

인체 공학적 프로세스는 분산과 같은 통계적 특성을 충분히 긴 샘플에서 추론 할 수있는 프로세스입니다. 예를 들어, 평균이 충분히 길면 샘플 평균이 신호의 실제 평균으로 수렴됩니다.

이제는 인체 공학적으로 신호가 고정되어 있어야합니다.

• 그리고 어떤 종류의 신호가 정지되어있을 수 있지만 인체 공학적 일 수 없습니까?
• 예를 들어 신호가 모든 시간에 대해 동일한 분산을 갖는 경우 시간 평균 분산이 어떻게 실제 값으로 수렴하지 않을 수 있습니까?
• 그렇다면이 두 개념의 실제 차이점은 무엇입니까?
• 인체 공학적으로 고정되어 있거나 고정되어 있지 않은 인체 공학적 과정의 예를 들어 주시겠습니까?

랜덤 프로세스는 고려중인 각 순간마다 하나씩 랜덤 변수의 모음입니다. 일반적으로 이것은 연속 시간 ( ) 또는 이산 시간 (모든 정수 또는 모든 시간 순간 있으며 여기서 는 샘플 간격) 일 수 있습니다. $-\infty < t < \infty$$n$$nT$$T$

• 정상 성은 랜덤 변수 의 분포 를 나타냅니다 . 구체적으로, 정지 과정에서 모든 랜덤 변수는 동일한 분포 함수를 가지며,보다 일반적으로 모든 양의 정수 및 시간 순간에 대해 , 랜덤 변수 의 결합 분포) 은 의 공동 분포와 같습니다 . 즉, 모든 순간을 바꾸면 프로세스의 통계적 설명은 전혀 바뀌지 않습니다. 프로세스는 정지 상태입니다$n$$n$$t_1, t_2, \ldots, t_n$ N X ( t 1 ) , X ( t (2) ) , ⋯ , X ( t , N ) X ( t 1 + τ ) , X ( t 2 + τ ) , ⋯ , X ( t N + τ ) τ$n$$X(t_1), X(t_2), \cdots, X(t_n)$$X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \cdots, X(t_n+\tau)$$\tau$.
• 반면에, Ergodicity는 랜덤 변수의 통계적 속성을 보지 않고 샘플 경로 , 즉 물리적으로 관찰 한 것에서 봅니다. 랜덤 변수를 다시 참조하면, 랜덤 변수 는 샘플 공간에서 실수로의 매핑 이라는 것을 상기하십시오. 각 결과는 실수로 매핑되며 다른 임의의 변수는 일반적으로 주어진 결과를 다른 숫자로 매핑합니다. 따라서 실험을 에 따라 샘플 공간에서 결과가 결과가 프로세스의 모든 랜덤 변수에 의해 (일반적으로 다른) 실수에 매핑되었다고 생각합니다. 변수 는 를 매핑했습니다$\omega$$X(t)$$\omega$실수로 합니다. 파형으로 간주 되는 숫자 는 해당하는 샘플 경로 이며 다른 결과는 다른 샘플 경로를 제공합니다. Ergodicity는 샘플 경로의 속성과 이러한 속성이 랜덤 프로세스를 구성하는 랜덤 변수의 속성과 어떻게 관련되는지를 다룹니다.$x(t)$x ( t ) ω $x(t)$$\omega$

이제 샘플 경로에 대한 A로부터 고정 공정, 우리는 계산할 수 시간 평균 그러나 는 랜덤 프로세스 의 평균 인 와 어떤 관계가 있습니까? ( 우리가 사용 하는 값은 중요하지 않습니다 . 모든 랜덤 변수는 같은 분포를 가지므로 평균이 같은 경우 평균이 동일합니다). OP가 말했듯이, 프로세스가 인체 공학적 이라면 샘플 경로가 충분히 오래 관찰되면 샘플 경로의 평균 값 또는 DC 성분이 프로세스의 평균 값으로 수렴됩니다.$x(t)$ˉ x = 1

$$\bar{x} = \frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$ $\bar{x}$$\mu = E[X(t)]$$t$고정 등입니다. 즉, ergodicity는 두 계산 결과를 연결하고 동일 그러한 동등성이 알려져 보류하는 방법이 될 평균 에르 고딕 의 자기 공분산 함수 경우 및 공정이 평균 에르 고딕이다 특성을 갖는다 : $$\lim_{T\to \infty}\bar{x} = \lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$
$$\mu = E[X(t)] = \int_{-\infty}^\infty uf_X(u) \,\mathrm du.$$ $C_X(\tau)$ $$\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T C_X(\tau) \mathrm d\tau = 0.$$

따라서 모든 고정 프로세스가 평균 인체 공학적 일 필요는 없습니다. 그러나 다른 형태의 ergodicity도 있습니다. 예를 들어, 자기 공분산 인체 공학적 프로세스의 경우 유한 세그먼트의 자기 공분산 함수 (예 : 샘플 경로 는 프로세스 의 자기 공분산 함수 로 수렴됩니다. 같은 담요 문이 프로세스가 다양한 형태 중 하나를 의미 할 수 있습니다 에르 고딕 경우, 혹은 특정 양식을 의미 할 수 있습니다,. 하나 그냥 말할 수 있습니다,$t\in (-T, T)$$x(t)$$C_X(\tau)$$T\to \infty$

두 개념의 차이점의 예로, 고려중인 모든 에 대해 라고 가정합니다 . 여기서 는 랜덤 변수입니다. 이것은 인 각각은 정상 과정 (즉, 분포와 동일한 분포 갖고 ) 동일한 평균 , 동일한 분산 등; 각 및 는 동일한 공동 분포 (퇴화 임에도 불구하고 갖습니다. 그러나 각 샘플 경로가 일정하기 때문에 프로세스는 인체 공학적 이지 않습니다 . 구체적으로, 실험이 (당신이나 우월한 존재에 의해 수행 된) 재판에서$X(t) = Y$$t$$Y$$X(t)$$Y$$E[X(t)] = E[Y]$$X(t_1)$$X(t_2)$$Y$ 값이 이면이 실험 결과에 해당하는 랜덤 프로세스의 샘플 경로는 모든 대해 값 를 가지며 샘플 경로의 DC 값은 아니라 , (보링이 아닌) 샘플 경로를 얼마나 오래 관찰하든 상관 없습니다. 병렬 유니버스에서 시행 결과는 되고 해당 유니버스의 샘플 경로는 모든 대해 값을 갖습니다 . 고정 프로세스 클래스에서 이러한 사소한 것을 배제하기 위해 수학 사양을 작성하는 것은 쉽지 않으므로 이것은 인체 공학적이지 않은 고정 랜덤 프로세스의 아주 작은 예입니다.$\alpha$$\alpha$$t$$\alpha$$E[X(t)] = E[Y]$$Y = \beta$$\beta$$t$

인 임의의 과정이있을 수 없는 고정 만 입니다 에르고 드적를? 음, N0 은 인체 공학적으로 우리가 생각할 수있는 모든 방법으로 인체 공학을 의미하지는 않습니다. 예를 들어, 샘플 경로 의 긴 세그먼트가 최대 인 시간 의 비율 을 측정하는 경우 , 이 좋은 추정치 인 상기 (공통)의 값 CDF 의 '에서이야 프로세스가에 asumeed되면 분포 함수와 관련하여 인체 공학적입니다. 그러나 , 우리 는 무작위 프로세스를 가질 수 있습니다$x(t)$$\alpha$$P(X(t) \leq \alpha) = F_X(\alpha)$$F_X$$X(t)$$\alpha$하지 고정하지만, 그럼에도 불구하고 있습니다 평균 -ergodic 및 자기 공분산 -ergodic. 예를 들어, 프로세스를 고려하십시오. 여기서 는 및 입니다. 각 는 일반적으로 4 개의 동일 값 취하는 불연속 랜덤 변수입니다. 및 , 일반적으로 및$\{X(t)\colon X(t)= \cos (t + \Theta), -\infty < t < \infty\}$$\Theta$$0, \pi/2, \pi$$3\pi/2$$X(t)$$\cos(t), \cos(t+\pi/2)=-\sin(t), \cos(t+\pi) = -\cos(t)$$\cos(t+3\pi/2)=\sin(t)$$X(t)$$X(s)$분포가 다르기 때문에 프로세스는 1 차 정지조차되지 않습니다. 한편, 동안 마다 요컨대, 프로세스는 제로 평균을 가지고 그 자기 상관 (및 자기 공분산)의 기능은 시간 차이에 따라 , 처리 너무 하다

$$E[X(t)] = \frac 14\cos(t)+ \frac 14(-\sin(t)) + \frac 14(-\cos(t))+\frac 14 \sin(t) = 0$$ $t$ $$\begin{align} E[X(t)X(s)]&= \left.\left.\frac 14\right[\cos(t)\cos(s) + (-\cos(t))(-\cos(s)) + \sin(t)\sin(s) + (-\sin(t))(-\sin(s))\right]\\ &= \left.\left.\frac 12\right[\cos(t)\cos(s) + \sin(t)\sin(s)\right]\\ &= \frac 12 \cos(t-s). \end{align}$$ $t-s$넓은 감각 고정. 그러나 그것은 1 차 고정식이 아니므로 더 높은 주문에 고정되어있을 수 없습니다. 이제 실험을 수행하고 값을 DC 값 이 인 및 중 하나 여야하는 샘플 함수를 얻습니다. , 그리고 자기 상관 함수는 이며 와 동일 프로세스 는 고정되어 있지 않더라도 평균적이며 자기 입니다. 마지막으로, 분포 함수 와 관련하여 프로세스가 인체 공학적이지 않음을 언급합니다.$\Theta$$\pm \cos(t)$$\pm \sin(t)$$0$$0$$\frac 12 \cos(\tau)$$R_X(\tau)$즉, 모든면에서 인체 공학적이라고 말할 수는 없습니다.

샘플 함수가 DC 값이고 서로 다른 가상의 랜덤 프로세스를 고려해 보겠습니다.

X ₁ (t) = 상수 = X ₁ (t)의 평균

X ₂ (t) = 상수 = X ₂ (t)의 평균

및 의 시간 평균 은 일정하지만 같지 않습니다. 내 프로세스가 고정 이고 가 같고 RV 인 경우 (Dilip의 답변 참조)$X_1(t)$$X_2(t)$$X(t_1)$$X(t_2)$

따라서 의 앙상블 평균 은 일정합니다.$X(t)$

이 앙상블 평균은 확실히 및 의 시간 평균 과 같지 않습니다 (그들 자체는 같지 않습니다). 이것을 고정식이라고 할 수 있지만 인체 공학적 프로세스는 아닙니다 .$X_1(t)$$X_2(t)$

반대로 여기서 는 RV입니다.$X(t)=Acos(\omega t+\theta)$$\theta$

나는이 희망 비디오 (기술 플로리다 연구소. 자신의 통신 이론 수업 박사 이비카 Kostanic에 의해 "넓은 의미의 staionary, 엄격한 의미, 에르 고딕 신호 무엇인지"라는 제목) 16시 55분에서 의심을 취소 할 수

인체 공학적 프로세스는 시간적 평균 대신 인체 공학적 평균을 대체 할 수있는 프로세스입니다.

실제 평균, 분산 등은 시간이 지남에 따라 프로세스를 따르고 평균화하는 등으로 정의됩니다. 예를 들어 내 크기의 평균을 알고 싶다면 내가 태어 났을 때 평균을 구해야합니다. 내가 죽을 때까지 분명히 후자의 예제는 고정적인 프로세스가 아닙니다.

인체 공학적 평균은 시간이 지남에 따라 내 크기를 따르는 대신 시간을 동결하고 다른 개별 인간의 표본을 평균화하는 것입니다. 이 두 가지 방법이 동일 할 이유가 없기 때문에 내 규모의 과정은 인체 공학적이지 않습니다.

이것은 나쁜 예이지만, 평형 가스의 단순한 경우를 고려하면 더욱 중요해집니다. 예를 들어 평균 제곱 속도는 (시간이 지남에 따라)로 표시되지만 앙상블 평균 :를 사용하여 계산됩니다 . 순간 에서의 가스 .$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$$t$

대부분의 열역학 이론에서는 를 사용해야 하지만 를 계산하고 사용하는 것이 더 쉽습니다 . 인체 공학적 가설은 서로를 대체하는 것이 옳다는 가설입니다. 인체 공학적 프로세스는 인체 공학적 가설이 참인 프로세스입니다.$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$

인체 공학적 가설은 일반적인 경우에 거짓입니다.

반대의 경우 (예를 들어, 인체 공학적이지만 고정적 이지 않은 임의의 프로세스)의 예 를 위해 결정적 구형파에 의해 진폭이 변조 된 백색 잡음 프로세스를 고려하십시오. 모든 샘플 함수의 시간 평균은 모든 시간의 앙상블 평균과 마찬가지로 0과 같습니다. 따라서 프로세스는 인체 공학적입니다. 그러나 개별 샘플 함수의 분산은 시간에 대한 원래 구형파 의존성을 보여 주므로 공정이 정지되지 않습니다.

이 특정 예는 광범위하게 고정되어 있지만 여전히 인체 공학적이지만 광범위하게 고정되지 않은 관련 예를 조정할 수 있습니다.

내가 알기로, 아래 예는 인체 공학적이고 고정적인 과정을 보여줍니다.

 X1 X2 X3  | mean var ...
 1  2  3   | 2    1
 2  3  1   | 2
 3  1  2   | 2
 ----------

평균 2 2 2 var 1

모든 열의 평균과 분산은 시간에 따라 일정하고 모든 행의 평균과 분산은 시간에 따라 일정하기 때문에