이산 시간 푸리에 변환

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저는 전자, 프로그래밍 등을 좋아하는 중학생입니다. 최근에는 신호 처리에 대해 배우고 있습니다.

불행히도, 나는 아직 미적분학을 많이하지 않았으므로 (용서하십시오), 나는 일에 약간 애매합니다.

신호의 DTFT를 계산하는 경우 해당 신호의 또는 표현의 차이점은 무엇입니까? $\sin$ $\cos$
DTFT를 사용하면 입력 한 신호가 시간에 따라 다르다는 것을 이해하지만 세계에서 어떻게 주파수 영역에서 연속 신호를 얻을 수 있습니까?
이것은 두 번째 질문으로 이어집니다. DTFT는 어떻게 유용합니까? 대부분의 응용 프로그램에서 어디에 사용되었으며 그 이유는 무엇입니까?

도움을 주시면 감사하겠습니다.

fourier-transform

— ElectroNerd
소스

첫 번째 질문으로, 그것은 단지 90도 단계를 벗어난 것 같습니다. 그러나, 나는 그렇지 나타내는 일부 그래프 생산 i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/... i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/...

— ElectroNerd

훌륭한 질문입니다. 특히 DSP가 젊은이들의 마음을 사로 잡는 방법과 관련된 문제에 대한 답변을 만들었습니다. (이것은 대학 수준에서 특히 그렇습니다). 나에게 이메일을 쏴 그리고 나는 당신에게 일부 자료를 보여줄 수 있습니다.

— Spacey

@Mohammad : 안녕하세요, abidrahman2@gmail.com에서 저와 자료를 공유 할 수 있습니까?

— Abid Rahman K

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교육 과정의 초기 단계에서 신호 처리에 관심을 갖는 것이 좋습니다.

가장 좋은 방법은 주제에 대한 소개 책을 읽는 것입니다. 시작하기에 좋은 무료 온라인 리소스가 많이 있습니다. [존중 한 편집자 주 : 좋은 서적 서적은 "끈적 끈적한"주제가 될 수있다]. 나는 때때로 사용한다

팔을 잡는 데 필요한 가장 중요한 수학적 개념 중 하나는 "복잡한"숫자입니다. 그것은 실제로 그렇게 복잡하지 않고 거의 모든 공학 수학을 훨씬 간단하게 만들기 때문에 분명히 잘못된 이름입니다. 수학과 관련된 모든 것에 대한 또 다른 훌륭한 무료 리소스는 http://www.khanacademy.org 이며이 경우에는 특히 http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra입니다.

첫 번째 질문으로 돌아 가기 : 실제로 Fourier Transform에는 Fourier Transform (Fourier Series), Fourier Transform, Discrete Fourier Transform 및 Discrete Fourier Series 등 4 가지가 있습니다. 그들 모두는 사인과 코사인 (또는 복잡한 지수, 본질적으로 동일한 것)의 조합을 사용합니다. 둘 다 필요합니다.

입력 사인파의 사인 및 코사인 푸리에 계수를 계산한다고 가정 해 봅시다. (특정 조건에서) 하나의 코사인과 하나의 사인 계수를 제외하고 모든 푸리에 계수가 0이됩니다. 그러나 입력 사인파의 위상에 따라이 두 숫자가 움직입니다. [0.707 0.707], [1 0], [0 -1] 또는 [-0.866 0.5] 등을 얻을 수 있습니다.이 두 숫자의 제곱의 합은 항상 1이지만 실제 값은 값은 입력 사인파의 위상에 따라 다릅니다.

심층 다이빙을하려면 다음을 시도하십시오 : http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— 힐 마르
소스

안녕하세요 Hilmar, 답변 주셔서 감사합니다! 나는 복잡한 숫자로 꽤 많은 것을했고 동의해야합니다 : 그것들은 비교적 간단합니다. 그건 듣기 좋네. 조금 더 혼란스러워서 DTFT에 대한 sin 및 cos 입력 신호의 크기를 계산하고 진폭이 sin 및 cos에 대해 동일하다는 것을 알았습니다. 특히 참고 서적에 감사드립니다. 나는 잠시 동안 바쁠 것입니다.

— ElectroNerd

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당신은 통해 사용할 수있는 자료를보고 싶을 수도 있습니다

인피니티 프로젝트 : 신호 처리 기반 엔지니어링 교육을 고등학교 교실로 확대

여기에 사용 가능

— 디립 사르 베이트
소스

이것은 매우 흥미로운 것 같습니다. 나는 그것을 학교에 추천하려고 할지도 모른다.

— ElectroNerd

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DTFT 이산 시간 푸리에 변환은 입력과 주파수 영역에서의 출력이 연속적이고주기가 2 * pi이므로 이산 무한 신호를 취합니다. 내 경험상 DFT (Discrete Fourier Transform)는 실제 용도로 사용되는 것입니다. 특정 조건 하에서 유한 비 주기적 신호의 DFT는 DTFT의 등 간격 샘플 일뿐임을 쉽게 알 수 있습니다. 일반적으로 시간 (또는 공간) 영역에서 시퀀스를 0으로 채우면 점점 더 많은 DTFT 샘플을 얻습니다.

결론은 DFT가 매우 유용하며 DFT는 DTFT의 동일 간격 샘플로 볼 수 있으며 더 많은 DTFT 샘플을 얻기 위해 신호의 제로 패드를 수행하는 것입니다.

— pv.
소스

DTFT를 계산하면 시간 영역에서 샘플링 시간이 길어질수록 주파수 영역에서 해상도가 더 좋아진다는 말이 들었습니다. 나는 이것을 파이썬과 matplotlib ( Sine + zero padding , zero padding 의 DTFT)를 사용하여 그래프로

— 만들었습니다

여기서 조심해야한다고 말해야합니다. 큰 오해는 신호를 제로 패딩하면 주파수 분해능이 높아진다는 것입니다. 주파수 분해능을 실제로 높일 수있는 유일한 방법은 더 많은 시간 도메인 샘플을 사용하는 것입니다. 이제 제로 패딩은 실제로 계산 한 것 사이에 보간 점이있는 주파수 스펙트럼을 보려는 경우 도움이됩니다.

— Spacey

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우선, 용어를 정리하는 데 도움이됩니다.

시간 영역의 함수를 신호라고 합니다.
주파수 영역의 함수를 스펙트럼이라고 합니다.

힐 마르가 말했듯이 신호를 스펙트럼으로 변환하는 "푸리에 (Fourier)"의 네 가지 맛이있다. 푸리에 시리즈는 주파수 영역을 진정으로 이해하기 위해 시작하는 것이 가장 좋습니다. 기본 전제는 이것입니다. 모든 주기적 신호는 무한한 사인과 코사인으로 표현 될 수 있습니다. 이 방정식에서 s (x)는 신호입니다 .

a_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \cos n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \sin n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{f} (x) = \frac{a_{n}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n x) + b_{n} s i n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{f} (x) = s (x)

$s_f(x)=s(x)$

이 방정식에서, _{n n} 과 b _n 은 각각 이산 스펙트럼의 실수 부와 허수 부입니다. 따라서 보시다시피, 코사인의 푸리에 변환은 실수이고 사인의 경우 허수입니다. 적분 의 T 는 신호의 전체 기간에 걸쳐 적분됨을 의미합니다. 이것은 주로 비 정현파 신호 (사각 파, 삼각파 등)로 아날로그 회로를 분석 할 때 주로 사용하는 고조파 분석에 사용됩니다. 그러나 신호가 주기적이 아닌 경우 어떻게해야합니까? 이것은 작동하지 않으므로 푸리에 변환으로 전환해야합니다.

푸리에 변환은 연속 신호를 연속 스펙트럼으로 변환합니다. 푸리에 계열과 달리 푸리에 변환을 통해 기간이 아닌 함수를 스펙트럼으로 변환 할 수 있습니다. 비 주기적 기능은 항상 연속적인 스펙트럼을 초래합니다.

이산 시간 푸리에 변환은 푸리에 변환과 동일한 결과를 얻지 만 연속 (아날로그) 신호가 아닌 이산 (디지털) 신호에서 작동합니다. DTFT는 이전과 같이 비 주기적 신호가 신호 자체가 연속적이지 않더라도 항상 연속 스펙트럼을 생성 하기 때문에 연속 스펙트럼을 생성 할 수 있습니다 . 신호가 불 연속적 일지라도 무한한 수의 주파수가 여전히 신호에 존재합니다.

따라서 DTFT는 디지털 신호에서 작동하므로 디지털 필터를 설계 할 수 있으므로 DTFT가 가장 유용합니다. 디지털 필터는 먼아날로그보다 더 효율적입니다. 훨씬 저렴하고 안정적이며 설계하기가 훨씬 쉽습니다. DTFT는 여러 응용 프로그램에서 사용됩니다. 신디사이저, 사운드 카드, 녹음 장비, 음성 및 음성 인식 프로그램, 생의학 기기 및 기타 여러 가지가 있습니다. 순수한 형태의 DTFT는 대부분 분석에 사용되지만, 불연속 신호를 가져와 불연속 스펙트럼을 생성하는 DFT는 위의 대부분의 응용 프로그램에 프로그래밍되어 있으며 컴퓨터 과학에서 신호 처리의 핵심 부분입니다. DFT의 가장 일반적인 구현은 고속 푸리에 변환입니다. 그것은 찾을 수있는 간단한 재귀 알고리즘의 여기 . 이게 도움이 되길 바란다! 궁금한 점이 있으면 언제든지 의견을 말하십시오.

— 제타 수로
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pv. 상기 DFT는 "주파수 도메인"에서 DTFT를 샘플링함으로써 얻어진다. 아시다시피 불연속 신호는 연속 신호를 샘플링하여 얻습니다. 그러나 이산 시간 대응 장치로부터 연속 시간 신호를 완벽하게 구성하려면 샘플링 속도가 반드시 나이키 스트 속도보다 높아야합니다. 이를 위해서는 연속 신호가 주파수 제한되어야합니다.

DTFT와 DFT의 경우 이야기가 어떻게 든 반대로 바뀌 었습니다. "Frequency"도메인에서 연속적인 DTFT가 있습니다. 기본적으로 연속 신호를 저장하여 컴퓨터에서 처리 할 수 없습니다. 해결책은 샘플링입니다! 따라서 DTFT에서 샘플링하여 결과 DFT를 호출합니다. 그러나 DTFT를 DFT로부터 완벽하게 재구성하기위한 샘플링 정리에 따르면, DTFT의 시간 영역 대응 물은 "시간"으로 제한되어야한다. 그래서 DFT를 시작하기 전에 창을 사용해야합니다.

— 시나
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