"스펙트럼 모멘트"란 무엇입니까?

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나는 구글과 위키의 전능 한 신탁들을 참고했지만 "스펙트럼의 순간"이라는 문구에 대한 정의를 찾을 수없는 것 같습니다.

내가 읽고있는 레거시 작업 텍스트는 다음과 같이 사용하여 단위 시간당 제로 크로싱 수를 다음과 같이 정의합니다.

엔_{0} = \frac{1}{π} {(\frac{{미디엄}_{2}}{{미디엄}_{0}})}^{1 / 2}

$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$

그런 다음 다음과 같이 단위 시간당 극단 수를 추가로 정의합니다.

엔_{이자형} = \frac{1}{π} {(\frac{{미디엄}_{4}}{{미디엄}_{2}})}^{1 / 2}

$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$

" 는 스펙트럼 의 번째 모멘트입니다." $m_i$ $i$

아무도 전에 이런 일이 발생? 스펙트럼의 "순간"은 무엇입니까? 나는 전에 DSP 문헌에서 그것을 들어 본 적이 없다.

frequency-spectrum

— Spacey
소스

언급 랜덤 응답 통계 결정 용 순간 스펙트럼 효율의 계산 된 스펙트럼에 대한 순간 "스펙트럼 순간 일방적 PSD로부터 계산된다"

— 랑 두발

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나는 유령 순간 영화에서 일어난 일이 스펙트럼 순간이라고 생각했습니다! :-)

— Peter K.

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전체적으로 저역 통과 신호를 가정합니다.

이후 $X(f)$ 일반적으로 전력 스펙트럼을 사용하여 복소수 값입니다 $|X(f)|^2$ 특히 제곱근 등을 취하려는 경우 더 나은 아이디어 일 것입니다. 그러므로, $m_k$ 로 정의된다

{미디엄}_{케이} = \int_{- \infty}^{\infty} {에프}^{케이} | 엑스 (에프) |^{2} 디 에프 .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$ 특히

m_{0}

$m_0$ 신호의 힘이며

m_{1} = 0

$m_1 = 0$ 이제 가버 대역폭

G

$G$ 신호의

지 = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} {에프}^{2} | 엑스 (에프) |^{2} 디 에프}{\int_{- \infty}^{\infty} | 엑스 (에프) |^{2} 디 에프}} = \sqrt{\frac{{미디엄}_{2}}{{미디엄}_{0}}} .

$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$ 이것을 약간 다른 관점에서 보면

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ 음이 아닌 함수이며 "곡선 아래 영역"

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ ".

m_{0}

$m_0$ 신호의 전력입니다. 따라서,

| X (f) |^{2} / m_{0}

$|X(f)|^2/m_0$ 사실상 분산이 0 인 랜덤 변수의 확률 밀도 함수 입니다.

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} {에프}^{2} \frac{| 엑스 (에프) |^{2}}{{미디엄}_{0}} 디 에프 = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} {에프}^{2} | 엑스 (에프) |^{2} 디 에프}{\int_{- \infty}^{\infty} | 엑스 (에프) |^{2} 디 에프} = 지^{2}

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$ .

주파수의 정현파 $G$ Hz는 $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ 초당 제로 크로싱. 모하마드는 레거시 책을 읽고 있기 때문에이 모든 작업을 라디안 주파수로 수행하고있을 수 있습니다 $\omega$ 따라서 $G$ 가보 대역폭은 초당 라디안입니다. $2\pi$ 기부

엔_{0} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{{미디엄}_{2}}{{미디엄}_{0}}} 초당 제로 크로싱.

$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$

의 파생물 인 극단 으로 전환 $x(t)$ 푸리에 변환 $j2\pi f X(f)$ 전력 스펙트럼 $|2\pi f X(f)|^2$ . 그것의 가보 대역폭이다

\begin{aligned} 지^{'} & = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} {에프}^{2} | 2 π 에프 엑스 (에프) |^{2} 디 에프}{\int_{- \infty}^{\infty} | 2 π 에프 엑스 (에프) |^{2} 디 에프}} \\ = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} {에프}^{4} | 엑스 (에프) |^{2} 디 에프}{\int_{- \infty}^{\infty} {에프}^{2} | 엑스 (에프) |^{2} 디 에프}} \\ = \sqrt{\frac{{미디엄}_{4}}{{미디엄}_{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$ 이전과 동일한 인수를 사용하여 (주기 당 도함수의 2 개의 제로 크로싱은주기 당 2 개의 극값과 동일) 라디안 대 헤르츠 주파수를 얻습니다.

엔_{이자형} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{{미디엄}_{4}}{{미디엄}_{2}}} 초당 극단.

$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$

— 디립 사르 베이트
소스

훌륭한 답변 Dilip ...하지만 "Gabor Bandwidth"? ... 전에는 들어 본 적이 없으며 웹에서 정보를 얻을 수없는 것 같습니다. 공식을 어디서 얻었습니까? 정확히 무엇을 측정해야합니까?

— Spacey

pdf 링크에 감사드립니다-비록 그들이 효과가 있다고 생각하지는 않습니다. 확인해 주시겠습니까?

— Spacey

다음과 같은 경우주의해야합니다

f

$f$ Hz이다; 이 경우 올바른 스펙트럼 모멘트는

{미디엄}_{케이} = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π 에프)^{케이} | 엑스 (에프) |^{2} 디 에프 .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty (2\,\pi\,f)^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

— jankos

@jankos 스펙트럼 모멘트의 정확한 정의라고 주장하는 것에 대한 참조가 있습니까?

m_{k}

$m_k$ ?

— Dilip Sarwate

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나는 그 용어를 이전에들은 것을 몰랐지만, "순간"이라는 용어는 질량 중심과 면적의 첫 번째와 두 번째 순간의 물리적 개념과 유사한 의미를 갖는 것으로 해석합니다.

{미디엄}_{케이} = \int_{- \infty}^{\infty} {에프}^{케이} 엑스 (에프) 디 에프

$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$

즉, 스펙트럼의 모든 주파수의 내용은 $k$ -주파수의 결과와 결과는 전체 스펙트럼에 걸쳐 요약됩니다. 이것이 원하는 것인지 확실하지 않지만 스펙트럼 (또는 그 문제에 대한 단일 변수의 기능)에 대한 순간의 개념입니다.

— 제이슨 R
소스

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언급 한 비율은 표준화 된 순간 또는 $L$ -순간 . 신호 처리의 순간은 물리의 순간 및 통계의 순간과 유사합니다. 물리학에서 순간 의 개념 은 다음과 같습니다.

거리와 다른 물리량의 곱을 포함하는 표현이며, 이런 식으로 물리량의 위치 또는 배열을 설명합니다.

질량 중심 개념을 일반화 한 것처럼 보일 수 있습니다. 평균, 표준 편차 또는 왜도 및 첨도는 파생 된 개념이며 시간 또는 빈도와 같은 모든 도메인에서 계산할 수 있습니다. 기본적으로 $\alpha$ 기능의 순간 $g$ 도메인 이상 $D$ 주변의 가치 $c$ 은 다음과 같이 적분 형태로 정의됩니다.

{미디엄}_{지_{디}} (α, 씨) = \int_{디} (티 - 씨)^{α} 지 (티) 디 티

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$ 또는

{미디엄}_{지_{디}} (α, 씨) = \int_{디} [티 - 씨 |^{α} 지 (티) 디 티

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$ 필요할 때. 기본적으로 실제 신호

x

$x$ 대칭으로 인해 푸리에 영역에서

X (f)

$X(f)$ , 스펙트럼 모멘트는 전력 정규화 에너지와 관련하여 정의됩니다 (

g (\cdot) = | X (\cdot) |^{2}

$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$ )

{미디엄}_{α} = \int_{에프 \geq 0} {에프}^{α} \frac{| 엑스 (에프) |^{2}}{\int_{ν \geq 0} | 엑스 (ν) |^{2} 디 ν} 디 에프

$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$

예를 들어 , 스펙트럼 모멘트에 대한 랜덤 응답 통계를 결정하기위한 효율적인 스펙트럼 모멘트 계산 : "스펙트럼 모멘트는 단면 PSD로부터 계산됩니다".

비율로 바뀌었다 $L$ -순간, 극한, 영점 교차 또는 희소성을 포함하여 기능 비헤이비어가없는 단위 표시기가 될 수 있습니다. $m_1/m_2$ 예를 들어) .

— 로랑 듀발
소스