별칭은 언제 좋은가요?

해밍의 저서 인 과학 기술 공학 (The Art of Doing Science and Engineering) 에서 그는 다음과 같은 이야기를하고있다

해군 대학원의 한 그룹은 샘플링 이론에 따라 샘플링 할 수있는 곳까지 매우 높은 주파수 신호를 변조하고있었습니다. 그러나 나는 그들이 영리하게 고주파를 샘플링하면 샘플링 동작 자체가 그것을 변조 (별칭) 할 것임을 깨달았습니다. 며칠간의 논쟁 끝에 그들은 주파수 강하 장비 랙을 제거했으며 나머지 장비는 더 잘 작동했습니다!

부작용을 피하는 것과 달리 신호 처리 를위한 기본 기술 로 앨리어싱을 사용하는 다른 방법이 있습니까?

질문에 인용 된 텍스트는 대역 통과 샘플링 또는 언더 샘플링 을 사용하는 경우입니다 .

여기서 앨리어싱 왜곡 을 방지하려면 관심있는 신호가 대역 통과 여야합니다 . 이는 신호의 전력 스펙트럼이 $f_L < |f| < f_H$ .

우리 레이트에서 신호를 샘플링하는 경우 다음 조건 후속 반복 스펙트럼 우리 에일리어싱을 방지 할 수단과 겹치지 않도록. 반복되는 스펙트럼은 f s의 모든 정수 배수에서 발생 합니다.$f_s$$f_s$

수학적으로 앨리어싱 왜곡을 피하기 위해이 조건을 작성할 수 있습니다.

$$\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}$$

여기서 은 만족하는 정수입니다.$n$

$$1 \le n \le \frac{f_H}{f_H - f_L}$$

아래 다이어그램 (위의 wikipedia 링크에서 가져옴)에 표시된 것처럼이 작업을 수행 할 수있는 유효한 주파수 범위에는 여러 가지가 있습니다.

위의 다이어그램에서 문제가 회색 영역에있는 경우, 대역 통과 샘플링으로 앨리어싱 왜곡을 피할 수 있습니다. 샘플링 된 신호가 앨리어싱 되더라도 신호 스펙트럼의 모양이 왜곡되지 않습니다.

염두에 두는 예는 디지털 복조입니다. 선형 변조 방식에 대한 최적의 검출기는 각 심볼의 중간 샘플에 대한 필터링 및 데시 메이션과 일치합니다.

일치하는 필터링은 대역폭을 줄이는 데 매우 효과적이지 않지만 심볼 속도로 결정을 내리고 싶습니다.

이 경우 에너지의 앨리어싱은 변조 된 심볼을 재구성하는 것의 일부이다.

핵심은 에너지가 정확한 단계에서 일관되게 앨리어싱되어야한다는 것입니다. 즉 타이밍이 중요합니다.

초 해상도 는 앨리어싱이 필요한 또 다른 영역으로, 광학 시스템이 체인에서 가장 약한 링크가되어서는 안됩니다. 사슬)

앨리어싱이 문제가되지 않는 다른 경우는 데시 메이션에 사용되는 저역 통과 필터를 설계 할 때입니다. 데시 메이션 작업 후 필터 성능에 대한 제약 조건을 완화하기 위해 소량의 앨리어싱을 허용하여 더 낮은 차수의 디자인을 만들 수 있습니다. 데시 메이션 후 나이 퀴 스트 주파수에 저지 대역 에지를 배치하는 대신 필터의 통과 대역으로 앨리어싱되지 않을 정도로 충분히 멀리 밀어내어 관심 신호를 손상시킬 수 있습니다.

$f_s$$D$$f_p$$\frac{f_s}{2 D}$ , 명백하게 그렇게 통과 대역 에지 주파수보다 덜이 있어야한다.

$\frac{f_s}{2 D} + \Delta f$$\frac{f_s}{2 D} - \Delta f$$f_{stop} = \frac{f_s}{2 D} + \Delta f$$\Delta f$

$$f_{stop_{aliased}} = \frac{f_s}{2 D} - \Delta f \ge f_p$$

$$\Delta f \le \frac{f_s}{2 D} - f_p$$

이것으로부터의 탈취는 사후 결정된 신호에 여전히 상당한 양의 오버 샘플링이 존재하는 경우 ( 이러한 이유가 있음 ), 저지대를 사소한 양만큼 밀어 낼 수 있습니다. 양적 측정으로 "순진"및 "이완 된"필터 사양의 전환 비율을 확인할 수 있습니다.

$$T_{naive} = \frac{f_p}{f_{stop_{naive}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}} = \frac{2 D f_p}{f_s}$$

$$T_{relaxed} = \frac{f_p}{f_{stop_{relaxed}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D} + (\frac{f_s}{2 D} - f_p)} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}$$

$$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{\frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}}{\frac{2 D f_p}{f_s}}$$

$$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{1}{2 - \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}}}$$

이 마지막 표현은 이러한 방식으로 필터 사양을 완화하여 얻을 수있는 전 이율 개선의 컴팩트 한 표현을 제공하며, 필터 통과 대역 (관심 신호의 대역폭) 대 후 사후 나이 퀴 스트 주파수의 비율로 매개 변수화됩니다. . 통과 대역 주파수 (사후 데시 메이션 샘플 레이트에 의해 정규화 됨)의 함수로이 비율을 표시하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

$\frac{f_s}{D}$

특정 조건에서는 별칭이 실제로 좋은 것일 수 있습니다.

다음과 같이보십시오 : 샘플링 속도가 100Hz라고 가정하십시오. 990에서 1010Hz 사이의 신호가 있다고 가정 해 봅시다. (따라서 총 대역폭은 20Hz이고 1000Hz로 중앙에 있습니다).

좋아, 이제 뭐?

이 신호를 100Hz 속도로 샘플링했다고 가정합니다. 모든 일이 발생합니다 (1000-10을 중심으로 한 990-1010에 앉아있는 신호)가 100의 정수 배수로 복사되고 이동됩니까?

따라서 이제 갑자기 900, 800, 700, 600 등을 중심으로 한 1100, 1200, 1300 등을 중심으로 한 것을 제외하고는 갑자기 원래 990-1010 신호의 사본이 있습니다. BW는 물론 같습니다. 따라서 신호 중심이 900을 중심으로 890-910Hz를 차지합니다. 800Hz에 앉아있는 사본은 790-810Hz 등을 차지합니다. 또한 '베이스 밴드'에 사본이 있습니다 (중앙이 0Hz에 있고 -10에서 10Hz를 차지함).

언제 이것이 유용한가요? 방금 수행 한 작업을 살펴보십시오. 1000Hz에 앉아 신호를 가져 와서베이스 밴드에 내려 놓으면 100Hz로 실행되는 샘플러가 있습니다. 그리고 무엇을 추측하십시오! Nyquist에 따르면 합법적 으로이 작업을 수행했습니다!

이는 나이 퀴 스트 가 최대 주파수의 최소 두 배를 샘플링해야한다고 말하지 않기 때문입니다 . (그러나 매우 일반적인 오해) 그는 신호 의 최대 대역폭 ( 이 경우 20Hz)의 최소 두 배를 샘플링해야한다고 말합니다 .

응용 프로그램? 음, 많은 휴대 전화 기지국은 실제로이 '언더 샘플링'기술을 사용합니다. 따라서 휴대 전화 신호는 일부 높은 Ghz 범위에 있고 기지국은 수백 개의 Mhz 범위에서 샘플링 중입니다.

그리고 나이키 스트 (Nyquist)의 실제 작동 방식을 살펴보면 '언더 샘플링 (undersampling)'이라는 용어가 마음에 들지 않습니다. 그러나 우리는 아니다! 우리는 Nyquist를 완전히 따르고 있으며 항상 해당 신호의 최대 대역폭의 두 배 이상을 샘플링합니다.