이산 푸리에 변환과 이산 푸리에 변환의 차이점

DTFT와 DFT에 대한 많은 기사를 읽었지만 DTFT와 같은 몇 가지 눈에 띄는 것들이 무한대로 진행되는 반면 DFT는 N-1까지만 발생한다는 점을 제외하고는 둘 사이의 차이점을 식별 할 수 없습니다. 누구나 차이점과 사용시기를 설명해 주시겠습니까? 위키는 말한다

DFT는 입력 및 출력 시퀀스가 ​​모두 유한하다는 점에서 이산 시간 푸리에 변환 (DTFT)과 다릅니다. 따라서 유한 도메인 (또는 주기적) 이산 시간 함수의 푸리에 분석이라고합니다.

유일한 차이점입니까?

편집 : 이 기사는 차이점을 잘 설명합니다.

이산 시간 푸리에 변환 (DTFT)은 이산 시간 신호의 (종래의) 푸리에 변환입니다. 출력은 연속적이며 주기적입니다. 예 : 연속 시간 신호 의 샘플링 된 버전 의 스펙트럼을 찾기 위해 DTFT를 사용할 수 있습니다.x ( t $x(kT)$$x(t)$

이산 푸리에 변환 (DFT)은 DTFT 출력의 샘플링 된 버전 (주파수 영역)으로 볼 수 있습니다. 컴퓨터는 한정된 수의 값만 처리 할 수 ​​있기 때문에 컴퓨터로 이산 시간 신호의 주파수 스펙트럼을 계산하는 데 사용됩니다. 나는 DFT 출력이 유한 한 것에 반대 할 것이다. 또한 주기적이므로 무한정 지속될 수 있습니다.

그것을 요 ​​약하기:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) DFT의 수학적 특성은 입력과 출력이 모두 DFT 길이 으로 주기적이라는 것입니다 . 즉, DFT에 대한 입력 벡터는 실제로 유한하지만 DFT 입력이 주기적이라고 생각되면 DFT가 샘플링 된 스펙트럼이라고 말하는 것이 옳습니다.$N$

좋아, 나는 DFT에 관한 나의 나치 같은 입장에 대한“의견”에 대한 주장으로 이것에 대답 할 것이다.

우선, 나의 단단하고 나치 같은 위치 : DFT와 이산 푸리에 시리즈는 동일합니다. DFT 는 "시간"도메인에서 기간 을 갖는 하나의 무한 및주기 시퀀스 을 "주파수"도메인에서 기간 갖는 또 다른 무한 및주기 시퀀스 에 다시 맵핑 한다 . 그리고 iDFT는 그것을 다시 매핑합니다. 그것들은 "주입"또는 "무정"또는 "일대일"입니다.$x[n]$$N$$X[k]$$N$

DFT :

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT :

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

그것이 가장 근본적으로 DFT입니다. 그것은 본질적으로 주기적이거나 순환적인 것입니다.

그러나 주기성 거부자 는 DFT에 대해 이것을 말하고 싶습니다. 사실은 위의 내용 중 어느 것도 변경하지 않습니다.

따라서 길이 N 의 유한 길이 시퀀스 $x[n]$ 을 가지고 있고 주기적으로 확장하는 대신 (DFT가 본질적으로 수행하는 것)이 유한 길이 시퀀스를 왼쪽과 오른쪽 모두에 0으로 무한대로 추가합니다. 그래서$N$

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

이제이 반복 되지 않는 무한 시퀀스 에는 DTFT가 있습니다.

DTFT :

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ 는 단위 원 에서 무한히 많은 실수에 대해 평가 된 의 Z- 변형입니다. 값 . 이제, 샘플한다면 DTFT 것을 에서 동일 하나의 포인트, 단위 원에 포인트를두고 이면 X [N]Z=EJωω X (EJω)N의Z=EJω=1$\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$N$$z=e^{j\omega}=1$

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

그것이 바로 DFT와 DTFT의 관계입니다. "주파수"도메인에서 균일 한 간격으로 DTFT를 샘플링하면 "시간"도메인에서 원래의 시퀀스 이 반복되고 모든 배수에 의해 시프트 되고 중첩된다. 한 도메인에서 균일 한 샘플링이 다른 도메인에서 발생하는 것입니다. 그러나 은 간격을 벗어난 가정 되므로 오버랩 추가는 아무 것도 수행하지 않습니다. 원래 유한 길이 시퀀스 인 의 0이 아닌 부분을 주기적으로 확장합니다 .$\hat{x}[n]$$N$$\hat{x}[n]$$0$$0 \le n \le N-1$$\hat{x}[n]$$x[n]$

DTFT 출력은 연속적이므로 컴퓨터에서 처리 할 수 ​​없습니다. 따라서이 연속 신호를 이산 형태로 변환해야합니다. 계산을 줄이기 위해 FFT를 발전시킨 것은 DFT에 지나지 않습니다.

내가 맞다면 DFT 입력이 주기적이더라도 샘플 수는 유한하지만 그 뒤에있는 수학은이를 N종료 후 샘플 을 주기적으로 시작하는 무한 시퀀스로 취급합니다 . 내가 틀렸다면 정정 해주세요.

DFT : 다음과 같습니다. x [ n ] =

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$