이산 푸리에 변환과 이산 푸리에 변환의 차이점


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DTFT와 DFT에 대한 많은 기사를 읽었지만 DTFT와 같은 몇 가지 눈에 띄는 것들이 무한대로 진행되는 반면 DFT는 N-1까지만 발생한다는 점을 제외하고는 둘 사이의 차이점을 식별 할 수 없습니다. 누구나 차이점과 사용시기를 설명해 주시겠습니까? 위키는 말한다

DFT는 입력 및 출력 시퀀스가 ​​모두 유한하다는 점에서 이산 시간 푸리에 변환 (DTFT)과 다릅니다. 따라서 유한 도메인 (또는 주기적) 이산 시간 함수의 푸리에 분석이라고합니다.

유일한 차이점입니까?

편집 : 기사는 차이점을 잘 설명합니다.


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DTFT는 주파수의 연속 함수이지만 DFT는 주파수의 이산 함수입니다.
John

핵심 사항은 다음과 같습니다.DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT
nmxprime 3

@nmxprime DFT가 DTFT의 샘플 버전이라는 것을 의미합니까?
endolith

1
@endolith 예. 그것은
nmxprime

연결 한 기사 (2 페이지)에 "CTFT는 이산 주파수 스펙트럼을 제공했습니다"라고 말합니다. 그렇지 않습니까? 푸리에 변환이 진행되는 연속 시간 비주기 신호의 경우 주파수가 연속적이라고 생각했습니다.
Aditya P

답변:


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이산 시간 푸리에 변환 (DTFT)은 이산 시간 신호의 (종래의) 푸리에 변환입니다. 출력은 연속적이며 주기적입니다. 예 : 연속 시간 신호 의 샘플링 된 버전 의 스펙트럼을 찾기 위해 DTFT를 사용할 수 있습니다.x ( t )x(kT)x(t)

이산 푸리에 변환 (DFT)은 DTFT 출력의 샘플링 된 버전 (주파수 영역)으로 볼 수 있습니다. 컴퓨터는 한정된 수의 값만 처리 할 수 ​​있기 때문에 컴퓨터로 이산 시간 신호의 주파수 스펙트럼을 계산하는 데 사용됩니다. 나는 DFT 출력이 유한 한 것에 반대 할 것이다. 또한 주기적이므로 무한정 지속될 수 있습니다.

그것을 요 ​​약하기:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) DFT의 수학적 특성은 입력과 출력이 모두 DFT 길이 으로 주기적이라는 것입니다 . 즉, DFT에 대한 입력 벡터는 실제로 유한하지만 DFT 입력이 주기적이라고 생각되면 DFT가 샘플링 된 스펙트럼이라고 말하는 것이 옳습니다.N


1
당신이하지 DTFT 입력 것을 의미 않았 에서 유한?
Dr. Lutz Lehmann

@LutzL 일반적으로 무한 할 수 있습니다. 예. 변경하겠습니다. DFT 출력은 어떻습니까? 유한 하거나 주기적이라고 하시겠습니까?
11:29에

난 DFT의 출력은 N주기 유한 시퀀스 생각
BaluRaman

1
DFT에서는 해석에 크게 의존합니다. 기술적 인 관점에서 유한을 유한으로 변환합니다. 삼각 다항식의 계수를 계산한다는 관점에서 무한 이산주기를 유한으로 변환한다고 말할 수 있습니다. 그러나 입력을 나타내는 데 사용되는 주파수 창을 이동할 수 있으며 가능한 모든 주파수에 대한 진폭이 다시 주기적 시퀀스를 형성합니다.
Dr. Lutz Lehmann

보다 일관성을 유지하기 위해 DFT 입력에 "finite"대신 "periodic"을 사용했습니다. 이는 DFT (출력)가 이산적인 직접적인 결과입니다.
Matt L.

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좋아, 나는 DFT에 관한 나의 나치 같은 입장에 대한“의견”에 대한 주장으로 이것에 대답 할 것이다.

우선, 나의 단단하고 나치 같은 위치 : DFT와 이산 푸리에 시리즈는 동일합니다. DFT 는 "시간"도메인에서 기간 을 갖는 하나의 무한 및주기 시퀀스 을 "주파수"도메인에서 기간 갖는 또 다른 무한 및주기 시퀀스 에 다시 맵핑 한다 . 그리고 iDFT는 그것을 다시 매핑합니다. 그것들은 "주입"또는 "무정"또는 "일대일"입니다.x[n]NX[k]N

DFT :

X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N

iDFT :

x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N

그것이 가장 근본적으로 DFT입니다. 그것은 본질적으로 주기적이거나 순환적인 것입니다.

그러나 주기성 거부자 는 DFT에 대해 이것을 말하고 싶습니다. 사실은 위의 내용 중 어느 것도 변경하지 않습니다.

따라서 길이 N 의 유한 길이 시퀀스 x[n] 을 가지고 있고 주기적으로 확장하는 대신 (DFT가 본질적으로 수행하는 것)이 유한 길이 시퀀스를 왼쪽과 오른쪽 모두에 0으로 무한대로 추가합니다. 그래서N

x^[n]{x[n]for 0nN10otherwise

이제이 반복 되지 않는 무한 시퀀스 에는 DTFT가 있습니다.

DTFT :

X^(ejω)=n=+x^[n]ejωn

X^(ejω) 는 단위 원 에서 무한히 많은 실수에 대해 평가 된 의 Z- 변형입니다. 값 . 이제, 샘플한다면 DTFT 것을 에서 동일 하나의 포인트, 단위 원에 포인트를두고 이면 X [N]Z=EJωω X (EJω)N의Z=EJω=1x^[n]z=ejωωX^(ejω)Nz=ejω=1

X^(ejω)|ω=2πkN=n=+x^[n]ejωn|ω=2πkN=n=+x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x[n]ej2πkn/N=X[k]

그것이 바로 DFT와 DTFT의 관계입니다. "주파수"도메인에서 균일 한 간격으로 DTFT를 샘플링하면 "시간"도메인에서 원래의 시퀀스 이 반복되고 모든 배수에 의해 시프트 되고 중첩된다. 한 도메인에서 균일 한 샘플링이 다른 도메인에서 발생하는 것입니다. 그러나 은 간격을 벗어난 가정 되므로 오버랩 추가는 아무 것도 수행하지 않습니다. 원래 유한 길이 시퀀스 인 의 0이 아닌 부분을 주기적으로 확장합니다 .x^[n]Nx^[n]00nN1x^[n]x[n]


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받아 들여진 대답은 좋았지 만 당신의 대답이 더 통찰력있는 것으로 나타났습니다. DTFT와 DFT 간의 실제 수학적 연결, 특히 시간 영역에서 주기성을 유발하는 스펙트럼 샘플링을 제공해 주셔서 감사합니다. 그것은 내가 항상 잊는 점입니다.
rayryeng-복원 모니카

두 번째 단락은 DFT가 길이가 무한한 입력 시퀀스를 허용 함을 의미합니다. 누구든지 무한 길이의 DFT를 수행 한 적이 있습니까?
리차드 리용

릭, comp.dsp 에서 만나서 반가워요 . 내가 처음으로 마이그레이션 할 때 @PeterK가 인사하는 것을 기억합니다 (그러나 나는 comp.dsp를 떠나지 않을 것입니다 ). 어쨌든, DFS가 무한 길이의 입력 시퀀스를 허용하는 것과 같은 정도로 DFT가 무한 길이의 입력을 허용하는 정도입니다. 내가 말하는 것은 DFT와 DFS가 동일하다는 것입니다.
robert bristow-johnson

1
@ Robert bristow-johnson. 이것은 아름다운 설명이었습니다. 내 질문은 나쁠 수 있지만 이산 푸리에 시리즈에서는 입력이 양방향으로 무한히 계속되는 연속적인 주기적 함수 인 경우를 참조하고 있습니까? 내가 기억하는 것에서, george silov의 dover 책을 읽음으로써, 충분한 주파수 그리드를 사용하여 푸리에 계수의 수를 충분히 크게 만들면, 푸리에 시리즈는 기간 연속 함수를 임의로 밀접하게 재현 할 수 있습니다. 이것은 당신이 말하는 fs입니다. DFT와 같다고 말할 때 맞습니까? 고마워.
마크 리즈

Discrete Fourier Series의 경우, 답변에 표시된 DFT 및 iDFT 정의와 동일한 의미입니다. 그리고 및 모두에 대해주기 으로 주기적입니다 . 이고 은 양의 정수입니다. 그것이 DFS가 의미하는 전부입니다.
X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N
x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N
x[n]X[k]N
x[n+N]=x[n]nZ
X[k+N]=X[k]kZ
N
robert bristow-johnson 8

1

DTFT 출력은 연속적이므로 컴퓨터에서 처리 할 수 ​​없습니다. 따라서이 연속 신호를 이산 형태로 변환해야합니다. 계산을 줄이기 위해 FFT를 발전시킨 것은 DFT에 지나지 않습니다.


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내가 맞다면 DFT 입력이 주기적이더라도 샘플 수는 유한하지만 그 뒤에있는 수학은이를 N종료 후 샘플 을 주기적으로 시작하는 무한 시퀀스로 취급합니다 . 내가 틀렸다면 정정 해주세요.


comp.dsp 에서 일부는 내가 당신을 "수정"할 수있는 논거를 가지고 있었지만 그것들은 틀렸다. DFT와 Discrete Fourier Series에는 차이가 없습니다. 아무 것도 없습니다.
robert bristow-johnson

여기서 말하는 내용을 이해하는 데 도움이되도록 "Discrete Fourier series"라고 부르는 작업의 출력에 관한 질문이 있습니다. 그것은 일련의 숫자 또는 연속 함수 (방정식)입니까?
Richard Lyons

-1

DFT : 다음과 같습니다. x [ n ] = 1

X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N
x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N

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수학을 읽을 수 있도록 라텍스 마크 업을 사용하고 따라 한 과정을 조금 더 설명하면 답변이 실제로 OP에 도움이 될 수 있습니다.
MBaz
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