Newton 's Method 를 사용하여 제곱근 함수를 근사화 할 수도 있습니다 . 뉴턴의 방법은 함수의 근이 어디에 있는지 근사하는 방법입니다. 또한 이전 반복의 결과가 수렴 할 때까지 다음 반복에서 사용되는 반복적 방법입니다. 초기 추측 x 0 이 주어 졌을 때 근이 함수 근을 추측하는 뉴턴의 방법에 대한 방정식 은 다음과 같이 정의됩니다.에프( x )엑스0
엑스1= x0− f( x0)에프'( x0)
은 근이 위치한 곳의 첫 번째 추측입니다. 우리는 방정식을 재활용하고 대답이 변경되지 않을 때까지 이전 반복의 결과를 사용합니다. 일반적으로, n 반복에서의 추측은 다음과 같이 정의 될때 ( n + 1 ) 반복에서의 근사 추측을 결정합니다.엑스1( n + 1 )엔
엑스n + 1= x엔− f( x엔)에프'( x엔)
뉴턴의 방법을 사용하여 제곱근에 근사하기 위해 숫자 가 있다고 가정합니다 . 따라서, 제곱근을 계산하려면 √ 를 계산해야합니다.ㅏ 따라서, 우리는 답을 찾기 위해 추구 등 그X= √ㅏ−−√. 양변을 제곱하고 방정식의 반대쪽으로a를이동하면x2−a=0이됩니다. 따라서이 방정식에 대한 답은 √입니다.x = a−−√ㅏ엑스2− a = 0 는 따라서함수의근본입니다. 따라서f(x)=x2-a를근이 구하려는 방정식으로둡니다. 이것을 Newton의 방법으로 대치함으로써f′(x)=2x이므로ㅏ−−√에프( x ) = x2− a에프'( x ) = 2 x
xn+1=1
엑스n + 1= x엔− x2엔− a2 x엔
엑스n + 1= 12( x엔+ a엑스엔)
따라서,의 제곱근 계산 , 우리는 단순히 우리가 수렴 할 때까지 뉴턴의 방법을 계산해야합니다. 그러나 @ robertbristow-johnson이 지적한 바와 같이, 부서는 특히 리소스가 제한된 마이크로 컨트롤러 / DSP의 경우 매우 비용이 많이 드는 작업입니다. 또한, 추측이 0 일 수 있으며, 이는 분할 연산으로 인해 0으로 나누기 오류를 야기 할 수있다. 따라서 우리가 할 수있는 일은 뉴턴의 방법을 사용하고 대신 역함수를 푸는 것입니다. 즉 1ㅏ. 또한 나중에 볼 수 있듯이 분할을 피할 수 있습니다. 양변을 제곱하고 움직이기 √1엑스= a−−√위에 좌측에 따라서 제공 1ㅏ−−√입니다. 따라서 이에 대한 해결책은1입니다.1엑스2− a = 0. 곱함으로써, 우리는 우리의 의도 한 결과를 얻을 것입니다. 다시, Newton의 방법을 사용하여1ㅏ√ㅏ
xn+1=xn−1
엑스n + 1= x엔− f( x엔)에프'( x엔)
엑스n + 1= x엔− 1( x엔)2− a− 2( x엔)삼
엑스n + 1= 12( 3 x엔− ( x엔)삼)
그러나 위의 방정식을 볼 때 고려해야 할 경고가 있습니다. 제곱근의 경우 해는 양수 여야하며 반복 (및 결과)이 양수이면 다음 조건이 충족되어야합니다.
3 배엔− ( x엔)삼a > 0
3 배엔> ( x엔)삼ㅏ
( x엔)2< 3
따라서:
( x0)2< 3
엑스0엑스0엑스010− 6
태그가에서 알고리즘을 찾고 C있으므로 매우 빠르게 알고리즘을 작성해 보겠습니다.
#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main()
{
float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
float x = 1.0; // Initial guess
float xprev; // Root for previous iteration
int count; // Counter for iterations
// Find a better initial guess
// Half at each step until condition is satisfied
while (x*x*a >= 3.0)
x *= 0.5;
printf("Initial guess: %f\n", x);
count = 1;
do {
xprev = x; // Save for previous iteration
printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);
x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
} while (fabs(x - xprev) > 1e-6);
x *= a; // Actual answer - Multiply by a
printf("Square root is: %f\n", x);
printf("Done!");
}
이것은 뉴턴의 방법의 아주 기본적인 구현입니다. 앞서 언급 한 조건이 충족 될 때까지 초기 추측을 반으로 줄였습니다. 나는 또한 5의 제곱근을 찾으려고 노력하고 있습니다. 우리는 이것이 대략 2.236 정도라는 것을 알고 있습니다. 위의 코드를 사용하면 다음과 같은 출력이 제공됩니다.
Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!
ㅏ
Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!
보시다시피, 유일한 유일한 것은 제곱근을 계산하는 데 필요한 반복 횟수 입니다. 계산하려는 항목의 수가 많을수록 더 많은 반복이 수행됩니다.
이 방법은 이전 게시물에서 이미 제안 된 것을 알고 있지만 방법을 도출하고 코드를 제공한다고 생각했습니다!