의 z- 변형 찾기

그래서 코사인 부분을 꽂을 $z$것인지 또는 부분인지를 결정하려고합니다 $h[n]$. (숫자 a는 열린 장치 디스크에 있습니다)

나는 그것이 의 모든 부분이라는 것을 확신 $h[n]$했지만 z- 변환을 수행 할 때이 합리적인 함수를 얻습니다.

$$\frac{1 - a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1}}{1-2a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1} + a^2z^{-2}}$$

문제는 극점과 영점을 평가해야하며 코사인 부분을 무시하면 z 로 분해하고 단순화하는이 멋진 합리적인 표현을 얻을 수 있습니다. . $\displaystyle\frac{z}{z-a}$

그래서 그것은 아마도 내가 물건을 올바르게 이해하지 못하고 코사인 부분이 또는 무언가 를 위해 연결되어 있어야한다고 생각했습니다 . 누구든지 나를 위해 이것을 명확히 할 수 있습니까?$z$

시간 영역 신호 (또는 임펄스 응답)

$$h(n)=a^{n}\cos n\theta_0,\quad \theta_0=2\pi\frac{f_0}{f_s},\; n\ge 0$$

매우 일반적이다 그것이 감쇠 사인 함수 (가정 $|a|<1$ )는시 불변 시스템 선형 2 차 중 하나의 가능한 반응이기 때문에, 자주 발생한다. 의심의 여지가 있지만 코사인 부분은 확실히 시간 영역 신호의 일부입니다. 극점과 영점은 $H(z)$ 다시 써서 찾을 수 있습니다 .

$$\begin{align}H(z)&=\frac{1-az^{-1}\cos \theta_0}{1-2az^{-1}\cos\theta_0+a^2z^{-2}}\\&= \frac{z(z-a\cos \theta_0)}{z^2-2az\cos\theta_0+a^2}\end{align}\tag{1}$$

(1)에서 $H(z)$ 의 제로를 결정하는 것은 쉽다 :

$$z_{0,0}=0\quad z_{0,1}=a\cos\theta_0$$

극점을 결정하기 위해 $H(z)$ 를 부분 분수 확장으로 씁니다 .

$$H(z)=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{1-ae^{j\theta_0}z^{-1}} + \frac{1}{1-ae^{-j\theta_0}z^{-1}} \right ]\tag{2}$$

(2)에서 우리는 극점이 z ∞ , 0 = a e j θ 0 으로 주어진다는 것을 알 수 있습니다

$$z_{\infty,0}=ae^{j\theta_0}\quad z_{\infty,1}=ae^{-j\theta_0}$$ $h(n)$ 값이 실수 이므로 복합 공액 극이 있습니다. 그 가정$h(n)$ 임펄스 응답이, 우리는 시스템이 안정적인지 극에서 볼 수있는 경우$|a|<1$극이 복소 평면의 단위 원 안에 있기 때문에 < 1 입니다.

의 Z- 변환 = a n c o s ( n θ ) u ( n ) . . . 도움 이되기를 바랍니다. $x(n) = a^ncos(nθ)u(n)...$