균일 한 랜덤 변수를 사용하여 가우스 랜덤 변수 구현

평균과 분산이 주어지면 가우시안 임의의 값을 반환하는 C ++ 함수를 작성하려고합니다.

와 rand()사이의 난수를 반환 하는 라이브러리 함수가 있습니다 . 고정 된 값은 없지만 이상임을 보증합니다 . PDF는 균일합니다.0RAND_MAXRAND_MAX $2^{15}-1$

Central Limit Theorem을 사용하여 이것을 rand()가우시안 변수로 변환하고 있습니다. 내가 정확히하고있는 것은 rand()사용자가 지정한 시간 을 호출 한 다음 반환 값을 더한 다음 평균을 사용자 지정 평균으로 이동하는 것입니다.

가우스 PDF
위의 그림에서, 나는 가우시안 랜덤 제너레이터를 번 호출 했고 그 리턴 값의 주파수를 플로팅했습니다. 보시다시피, 분산은 다른 임의의 값의 합으로 만들어지기 때문에 거대합니다. $10^7$

성공적으로 Gaussian PDF와 지정된 평균값을 가진 Gaussian 변수를 반환합니다. 그러나 문제는 분산입니다. 분산을 사용자 지정 값으로 변경하는 방법을 모르기 때문에이 시점에 갇혀 있습니다.

이것은 내 코드입니다 (현재는 불완전합니다. 매개 변수 "Variance"는 무시 됨).

template <class T>
T Random::GetGaussian(T Mean /*= 0*/, T Variance /*= 1*/)
{
    T MeanOfSum = NUM_GAUSSIAN_SUMS / static_cast<T>(2);
    T Rand = 0;
    for (uint64_t i=0; i<NUM_GAUSSIAN_SUMS; i++)
    {
        Rand += static_cast<T>(rand()) / RAND_MAX;
    }
    return Rand - (MeanOfSum - Mean);
}

NUM_GAUSSIAN_SUMS100이고 RAND_MAX32767 이라고 가정하십시오 .

함수의 매개 변수에 따라 임의 변수의 분산을 변경하고 싶습니다. 내 질문은이 무작위 변수의 분산을 어떻게 변경할 수 있습니까? 어떻게하니?

random

— hkBattousai
소스

가우스 랜덤 변수를 생성하기위한 중앙 한계 정리보다 낫고 빠른 방법이 있습니다. 하나의 Box-Muller 방법을 검색하십시오. 지그 구트 방법이 더 좋다고합니다.

— Dilip Sarwate

stackoverflow.com/questions/7034930/…

— nibot

실행 시간이 중요한 고려 사항이었던 예전에는 사람들이 임의 변수 ( 아님 합산 하고 을 빼서 표준 임의 변수에 대한 간단한 근사값을 얻은 다음 는 랜덤 변수 를 얻습니다 . (이것이 작동하는 이유는 @Hilmar의 답변을 참조하십시오). 많은 응용 분야에서이 간단한 방법은 매우 효과적 이었지만 값은 범위 되었으며 Six-Sigma가 유행어가되었을 때이 간단한 아이디어는 중단되었습니다.

12

$12$

U (0, 1)

$U(0,1)$

100

$100$

6

$6$

N (0, 1)

$N(0,1)$

Y = σ X + μ

$Y = \sigma X+\mu$

N (μ, σ^{2})

$N(\mu,\sigma^2)$

(μ - 6 σ, μ + 6 σ)

$(\mu-6\sigma, \mu+6\sigma)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate 아마도 우리가 선호하는 이유에 대한 타당성을 제시하는 대안으로 이러한 대안을 게시해야 합니다.

— Ivo Flipse

@IvoFlipse 질문에 대한 대답은 "평균을 수정 한 후 분산을 어떻게 수정합니까?" 은 본질적으로 주석에 의해 수정 된대로 Hilmar가 받아 들인 대답입니다. 크기를 조정하여 분산을 수정 한 다음 평균을 다시 수정하십시오. 나중에; 먼저 스케일링하여 분산을 수정 한 다음 평균을 수정하십시오. OP는 자신이 더 나은 방법에 관심이 있고 Box-Muller 방법에 대한 코드를 가진 nibot의 링크를 상향 조정하지 않았다는 것을 나타내지 않습니다. 그래서 나는 그대로 둡니다.

— Dilip Sarwate

답변:

초기 알고리즘은 0과 1 사이에 균일하게 분포 된 랜덤 변수를 만듭니다. 그 분산은 1/12입니다. NUM_GAUSSIAN_SUMS그 인스턴스 를 합산 하면 분산이됩니다 NUM_GAUSSIAN_SUMS/12. 목표 분산을 얻으려면 V합산 된 랜덤 변수에을 곱해야합니다 sqrt(V*12/NUM_GAUSSIAN_SUMS).

부수적으로, 템플릿은 float 및 double에 대해 합리적으로 작동하지만 고정 소수점 유형에 심각한 숫자 문제가 있습니다.

— 힐 마르
소스

이 랜덤 변수의 분산을 어떻게 변경할 수 있습니까?

$c X$ $c$ $X$ $c^2$ $X$

— 엠레
소스

c X

$cX$

c

$c$

X

$X$

중심을 맞추고 크기를 조정 한 다음 평균 을 복원하십시오. 중심 랜덤 변수의 스케일은 (0) 평균에 영향을 미치지 않습니다.

— Emre

또 다른 방법이 있습니다!

가우시안이 아닌 다른 배포판을 원한다면 어떻게해야할까요? 이 경우 실제로 중앙 제한 정리를 사용할 수 없습니다. 그런 다음 어떻게 해결합니까?

균일 한 랜덤 변수를 임의의 PDF로 변환하는 방법이 있습니다. 이 방법을 역변환 방법 이라고합니다

$U[0-1]$

X = F_{X}^{- 1} (U)

$X = F_X^{-1} (U)$

$F_X (x)$

따라서, 당신이해야 할 일은, rv의 샘플에서 구한 변수에 역 CDF 함수를 적용하는 것입니다.

또한 이전 방법과 달리 반복을 필요로하지 않으며 가우시안에 더 가까운 결과를 얻기 위해 반복 횟수에 의존하지 않습니다.

다음은 이에 대한 증거를 제공하는 참고 자료 중 하나입니다 .

— 디판 메타
소스

> 또 다른 방법이 있습니다! 사실이지만 가우시안 랜덤 변수에 관한 고려중인 질문과는 관련이 없습니다. 가우스 CDF 나 그 역은 유한 한 수의 연산을 사용하여 기본 용어로 표현할 수 없으므로 제안 된 방법을 사용할 수 없습니다.

— Dilip Sarwate