Dirac 빗의 푸리에 변환이 왜 Dirac 빗입니까?

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Heisenberg 불평등 이 $\Delta t\Delta \omega$ ~ 1 이라고 표시 하기 때문에 이것은 나에게 이해가되지 않습니다 .

따라서 시간에 완벽하게 현지화 된 것이 있으면 주파수에 완전히 분포 된 것이 있습니다. 따라서 기본 관계 $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ 여기서 $\mathfrak{F}$ 는 푸리에 변환 연산자입니다.

그러나 푸리에 변환을 적용한 Dirac 빗의 경우 다른 Dirac 빗을받습니다. 직관적으로, 당신은 또한 다른 라인을 가져와야합니다.

이 직감이 왜 실패합니까?

fourier-transform

— 카를로스-몽구스-위험
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나는 Dirac 빗 이 제 시간에 국한되어 있다고 믿는 것이 잘못이라고 믿는다 . 그것은 주기적 기능이기 때문에 기본 주파수의 배수, 즉 이산 주파수 포인트에서만 주파수 성분을 가질 수 있기 때문이 아닙니다. 연속 스펙트럼을 가질 수 없으며, 그렇지 않으면 시간이 일정하지 않습니다. 다른주기 함수와 마찬가지로 Dirac 콤은 푸리에 계열, 즉 복잡한 지수의 무한 합으로 표현 될 수 있습니다. 각 복소수 지수는 다른 주파수에서 주파수 영역의 Dirac 임펄스에 해당합니다. 이 Dirac 임펄스를 합하면 주파수 영역에서 Dirac 콤을 얻을 수 있습니다.

— 맷 L.
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예.주기적인 빗은 각각의 독립 변수 (시간 / 주파수)에 국한되지 않습니다.

— Peter K.

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잘못된 가정으로 시작하여 직관이 실패합니다. 하이젠 베르크의 불확실성은 당신이 생각하는 것을 말하지 않습니다. 당신이 이미 당신의 질문에서 말했듯이, 그것은 불평등 입니다. 정확하게 말하자면

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

불확실성 산물이 모든 신호의 하한에 근접해야하는 이유는 없습니다. 실제로,이 최저 한계를 달성하는 유일한 신호는 Gabor 원자입니다. 다른 모든 신호의 경우 더 크고 무한대 일 것으로 예상하십시오.

— 재즈 매니아
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그렇습니다. 그러나 가장 큰 오류는 Dirac 빗이 제 시간에 국한되어 있다고 생각하는 것입니다. 주기적이기 때문이 아닙니다. 따라서 불확실성 정리는 Dirac 빗에 대해 유용한 것을 말하지 않습니다.

— Matt L.

@MattL., 원래 질문을 이해하는 방식이 아닙니다. 그는 실제로 디 라크 열차가 원래 도메인에서 완전히 비편 재화되어 푸리에가 매우 현지화 된 것으로 변형해야한다고 주장하고 있다고 생각합니다.

— Jazzmaniac

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OK, OP가 '또 다른 라인'에 의해 무엇을 의미하는지 오해가있는 것 같습니다. 이것이 평평한 스펙트럼을 의미한다고 생각했습니다 (이전에 언급 한 Dirac 임펄스의 스펙트럼과 동일). 그러나 이것은 스펙트럼 선, 즉 하나의 단일 주파수를 의미한다고 생각했습니다. 적어도 지금은 귀하의 답변이 OP의 질문에 어떻게 대답 할 수 있는지 이해합니다.

— Matt L.

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@MattL., 나는 실제로 그가 "line"을 쓸 때 Dirac 배포판의 일반적인 그래픽 표현을 의미한다고 생각했습니다. 어쨌든 그는 적어도 두 가지 다른 방식으로 질문을 읽을 수 있기 때문에 분명히해야합니다.

— Jazzmaniac

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"표준"정의는 운동량과 위치 불확실성 (특히 표준 편차)에 관한 실제 진술 이며 거기에

가 있습니다. 그럼에도 불구하고이 경우 "

"및 "

"의 의미를 정의해야 합니다. 그 상수 (

지정)

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

)는 (로그 스케일에서) 단일성과 너무 멀 수는 없지만

일 필요는 없습니다.

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

"

"및 "

"에대한 특정 정의로 인한

.

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— robert bristow-johnson 2012

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전기 기술자는 Dirac 델타 기능을 사용하여 약간 빠르고 느슨하게 연주합니다. 수학자들은 기능이 아닙니다 (적어도 "일반적인"기능이 아니라 "배포")라고 주장합니다. 수학적 사실은 $f(t)=g(t)$ "거의 모든 곳"(이는 셀 수있는 이산 값을 제외한 모든 $t$ 값을 의미 )이면

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

well the functions $f(t)=0$ and $g(t)=\delta(t)$ are equal everywhere except at $t=0$ , yet we electrical engineers insist that their integrals are different. but if you set aside this little (and, in my opinion, non-practical) difference, the answer to your question is:

디랙 빗 함수
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ 기간의주기 함수이다 $T$ 이므로 푸리에 시리즈 가지고 ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
푸리에 계열 의 계수 $c_n$ 을 폭파하면 다음 을 얻을 수 있습니다.

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

so the Fourier series for the Dirac comb is

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

which means you're just summing up a bunch of sinusoids of equal amplitude.

the Fourier Transform of a single complex sinusoid is:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

and there is this property of linearity regarding the Fourier Transform. the rest of the proof is an exercise left to the reader.

— robert bristow-johnson
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@Jazzmaniac, that's a falsehood. when have i ever been condescending toward mathematicians? (me thinks you're projecting a bit.) BTW, it's been 38 years since i have had 2 semesters of functional analysis at the graduate level. don't remember everything, but i sure do remember what a metric space is, a normed metric space (i think they were sometimes called "Banach spaces"), and inner product spaces (sometimes called "Hilbert spaces"), and what a functional is (maps from one of these to a number). and i know what linear spaces are. about

δ (t)

$\delta(t)$ , i don't mind them being naked.

— robert bristow-johnson

You go on with a wrong argument that suggests mathematicians don't get 1 when they integrate over a Dirac distribution. Well, you can't demonstrate any better that you haven't understood the Dirac distribution, even if you have taken a class on functional analysis. It doesn't need electrical engineers like you to "fix" mathematics. And I will keep pointing that out to you until you stop talking about mathematicians like that. It's entirely your choice.

— Jazzmaniac

that's a falsehood, too, @Jazzmaniac. i am saying that, consistent with what mathematicians tell us, the Dirac delta function is not really a function (even though we electrical engineers don't worry about that distinction and deal with it as if it were a function) because if it were a function that was zero almost everywhere, the integral would be zero. why do you keep misrepresenting me? what is the ax you're grinding?

— robert bristow-johnson

@robertbristow-johnson "electrical engineers play a little fast and loose with the Dirac delta function." Paul Dirac was an electrical engineer. Claude Shannon was also an electrical engineer. I admonish you from making such general and inaccurate statements. You claim to be an electrical engineer and clearly understand distribution theory.

— Mark Viola

nearly every undergraduate electrical engineering textbook on Linear System Theory or Signals and Systems or some similar name, will introduce and treat the Dirac Delta as a limiting case of a "nascent delta". e.g. :

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$ or some other unit area pulse function that you can make skinny. i would not be surprized that in published papers, folks like Shannon or Dirac (didn't know that) would stick with the conservative facts:

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$ and

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$ .

— robert bristow-johnson

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I shall try to give an intuition. The way we could probably think is : "One Dirac delta gives us a 1 in frequency domain. Now I give infinite number of Dirac deltas. Shouldn't I get a higher DC?" Now let us see whether by adding all those frequency components mentioned in the Dirac comb in the frequency domain(FD), we get another Dirac comb in time domain(TD). We are adding continuous waveforms and getting deltas at discrete points. Sounds weird.

Coming back to the FD. We have a Dirac comb with spacing $\omega_0$ . To put it in words, we have deltas at $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ and so on. We thus have a DC and infinite number of cosines, namely $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$ and so on.

Let's consider points in time domain corresponding to $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$ . All the above cosine waves will give us value 1. Hence they all add up and give us non zero value at those points. Now what about any other t? We need to get convinced that they will all add up to zero.

Now deviating slightly, let's consider a waveform $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ . We know that unless k can be expressed as a fraction multiplied by $\pi$ , it's aperiodic. What does that mean? There is not a single repeating sample. Each of the samples are unique. Looking it from another perspective, we have infinite number of samples which are unique and part of a cosine wave. This means taking all the infinite points, we will be able to construct a single CONTINUOUS cosine wave completely once. What if $cos(kn)$ is periodic? We already know that the sum of samples will be zero periodically based on value of k. Hence, sum of all the samples of $cos(kn)$ will give us zero for any value of k, except $k = 2\pi$ 's multiple.

Returning back to our original problem : We now take an arbitrary $t=t_0 \neq 2r\pi$ . Now we have $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ ....as the value at $t=t_0$ . But we have already proved this infinite sum =0 for any t except $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$ , where all these cosines add up to give dirac deltas.

— Subramanian T R
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