고역 통과 신호에서 저역 통과 신호를 뺀 신호와 같은가?

내 질문은 신호를 고역 통과하려는 경우 신호를 저역 통과하고 신호에서 빼는 것과 동일합니까? 이론적으로 동일합니까? 실제로 동일합니까?

(Google 및 dsp.stackexchange에서 모두 검색) 충돌하는 답변을 찾았습니다. 나는 신호를 가지고 놀고 있었고 결과는 다음과 같습니다. 나는 그것을 이해하지 못한다. 다음 은 4 초마다 한 번씩 샘플링 주파수를 갖는 신호입니다. 0.8mHz에서 1mHz까지의 전이 대역을 가진 디지털 저역 통과 필터를 설계하고 신호를 필터링했습니다. 그런 다음 동일한 전이 대역의 고역 통과 필터를 설계하고 신호를 필터링했습니다. 결과는 다음과 같습니다.

이 첫 번째 그림은 원래 신호를 검은 색으로, 저역 통과 신호를 파란색으로 나타냅니다. 그들은 거의 서로 위에 있지만 꽤 아닙니다. 빨간색 곡선은 신호에서 신호 바로 위에있는 고역 통과 신호를 뺀 것입니다.

이 두 번째 이미지는 현재 상황을 보여주기 위해 확대 된 첫 번째 이미지입니다. 여기서 우리는 분명히 두 가지가 동일하지 않다는 것을 알 수 있습니다. 내 질문은 왜? 두 필터를 어떻게 구현했는지에 대한 것이거나 구현과 이론적으로 독립적입니까? 필터 설계에 대해서는 잘 모르지만 반 직관적으로 악명 높은 것을 알고 있습니다. 다음은이 모든 것을 재현하는 전체 MATLAB 코드입니다. 위상 지연을 제거하기 위해 filtfilt 명령을 사용하고 있습니다. 그러나 여기서 지적해야 할 또 다른 사항은 필터가 정규화되지 않았다는 것입니다. sum (Hd.Numerator)을 수행하면 저역 통과의 경우 0.9930, 고역 통과의 경우 0.007이 표시됩니다. 이것을 설명하는 방법을 모르겠습니다. 계수가 1을 더하지 않기 때문에 어떻게 든 출력을 조정해야합니까? 이 스케일링이 이것과 관련이있을 수 있습니까?

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data = dlmread('data.txt');

Fs    = 0.25;    % Sampling Frequency
N     = 2674;    % Order
Fpass = 0.8/1000;  % Passband Frequency
Fstop = 1/1000;   % Stopband Frequency
Wpass = 1;       % Passband Weight
Wstop = 1;       % Stopband Weight
dens  = 20;      % Density Factor

% Calculate the coefficients using the FIRPM function.
b  = firpm(N, [0 Fpass Fstop Fs/2]/(Fs/2), [1 1 0 0], [Wpass Wstop], {dens});
Hd = dsp.FIRFilter('Numerator', b);
sum(Hd.Numerator)
datalowpassed = filtfilt(Hd.Numerator,1,data);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Fs    = 0.25;    % Sampling Frequency
N     = 2674;    % Order
Fstop = 0.8/1000;  % Stopband Frequency
Fpass = 1/1000;   % Passband Frequency
Wstop = 1;       % Stopband Weight
Wpass = 1;       % Passband Weight
dens  = 20;      % Density Factor

% Calculate the coefficients using the FIRPM function.
b  = firpm(N, [0 Fstop Fpass Fs/2]/(Fs/2), [0 0 1 1], [Wstop Wpass], {dens});
Hd = dsp.FIRFilter('Numerator', b);
sum(Hd.Numerator)
datahighpassed = filtfilt(Hd.Numerator,1,data);

figure
subplot(2,1,1)
plot(data,'-ko')
hold on
plot(datalowpassed,'-bo')
plot(data-datahighpassed,'-ro')
legend('Original Signal','Low-Passed','Signal - High-Passed')
subplot(2,1,2)
plot(data-datalowpassed,'-bo')
hold on
plot(datahighpassed,'-ro')
legend('Signal - Low-Passed','High-Passed')

일반적으로 원본에서 저역 통과 필터링 된 신호를 빼서 고역 통과 필터링 된 신호를 얻을 수는 없습니다. 그 이유는 다음과 같습니다. 실제로하고있는 일은 주파수 응답이있는 시스템을 구현하는 것입니다.

$$H(\omega)=1-H_{LP}(\omega)\tag{1}$$

$H_{LP}(\omega)$$H_{LP}(\omega)$

$$|H(\omega)|=\big|1-|H_{LP}(\omega)|\big|\tag{2}$$

그러나 이것은 일반적으로 (1)이 만족되는 경우에는 해당되지 않습니다.

$H_{LP}(\omega)$

$$H_{LP}(\omega)=|H_{LP}(\omega)|e^{j\phi(\omega)}$$

$\phi(\omega)$

$$H_{HP}(\omega)=e^{j\phi(\omega)}-H_{LP}(\omega)=e^{j\phi(\omega)}\left(1-|H_{LP}(\omega)|\right)\tag{3}$$

$e^{j\phi(\omega)}$

실제로 이것은 매우 간단합니다 저역 통과 필터에 선형 위상 응답 이있는 경우 이는 합니다 .

$$e^{j\phi(\omega)}=e^{-j\omega\tau}\tag{4}$$

$\tau$$n$$\tau=n/2$

따라서해야 할 일은 다음과 같습니다.

• 고른 순서의 선형 위상 FIR 저역 통과 필터 설계
• filter()$x_{LP}[n]$
• $\tau=n/2$$x_d[n]$
• $x_{HP}[n]=x_d[n]-x_{LP}[n]$

Matlab / Octave의 매우 간단한 그림은 다음과 같습니다.

h_lp = fir1 (100, .3); 저역 설계 %
h_hp = [제로 (50,1); 1; 제로 (50,1)]-h_lp; 빼기로 % 하이 패스 디자인
[H_lp, w] = freqz (h_lp, 1,1024);
[H_hp, w] = freqz (h_hp, 1,1024);
음모 (w / 2 / pi, 20 * log10 (abs (H_lp)), w / 2 / pi, 20 * log10 (abs (H_hp)))
그리드, 축 ([0, .5, -100,5])

편집하다:

filtfilt명령 을 사용 했으므로 위상이 인위적으로 제거되고 모든 주파수 응답이 실제로 설계된 응답의 제곱 크기이므로 위의 방정식 (1) 및 (2)가 동일 해집니다. 따라서 필터 설계 프로세스로 인한 작은 차이, 수치 오류 및 filtfilt함수로 인한 작은 차이 (시작 및 종료 과도를 최소화하는 자동으로 선택된 초기 조건)를 제외하고 원래 데이터에서 필터링 된 데이터를 뺀 결과는 직접 필터링과 매우 유사해야합니다. 보완 필터와 함께. 귀하의 예에서는 그렇지 않으므로 필터 설계 루틴으로 인해 필터 차수가 매우 높아 문제가 발생할 것으로 생각됩니다. 더 간단한 필터로 동일한 작업을 수행하면 ( 선택했습니다)$n=100$), 당신은 당신이 기대하는 것을 얻습니다. 아래 그림에서 데이터 섹션은 파란색으로, 저역 통과 필터 출력은 녹색으로, 고역 통과 필터 출력은 원래 데이터에서 빨간색으로 뺀 결과를 볼 수 있습니다. 녹색과 적색 곡선은 사실상 동일합니다.

x =로드 ( 'data.txt'); 필터링 할 데이터 %
h_lp = fir1 (100, .3); LP 임펄스 응답 %
h_hp = fir1 (100, .3, '고'); HP 임펄스 응답 %
y = 여과 물 (h_lp, 1, x); 저역 통과 필터 적용 비율
yh = 여과 물 (h_hp, 1, x); 고역 통과 필터 적용 비율
yd = x-yh; 고역 통과 필터와의 차이에 따른 저역 통과 %
n = 1 : 길이 (x);
음모 (n, x, n, y, 'g.', n, yd, 'r')
축 ([3500,4000,140,150])

스케일링 관련 :

$\approx 1$$\approx 0$

Matt L.의 탁월한 답변 외에도 그가 사용하는 것을 크기 보완 필터 라고하며 , 이는 선형 위상 FIR 필터의 일반적인 경우입니다.

$|H_{LP}|+|H_{HP}| = 1$

두 개의 병렬 allpass 섹션에서 필터를 생성하고 출력을 추가 / 빼기 할 때, 저역 통과 / 고역 통과 필터는 대신 전력을 보완합니다 .

$|H_{LP}|^2+|H_{HP}|^2 = 1$