칼만의 이해를 직관적으로 이해하는 방법은 무엇입니까?

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초기화 과 . $\hat{\textbf{x}}_{0|0}$ $\textbf{P}_{0|0}$

각 반복에서 $k=1,\dots,n$

예측

예측 된 (선험적) 상태 추정치 예측 된 공분산 추정 업데이트
${\hat{x}}_{k | k - 1} = F_{k} {\hat{x}}_{k - 1 | k - 1} + B_{k} u_{k}$ $\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}$ $P_{k | k - 1} = F_{k} P_{k - 1 | k - 1} F_{k}^{T} + Q_{k}$ $\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}$
혁신 또는 측정 잔차 혁신 (또는 잔차) 공분산 최적 칼만 이득 업데이트 된 ( ) 상태 추정 업데이트 ( ) 추정 공분산
${\tilde{y}}_{k} = z_{k} - H_{k} {\hat{x}}_{k | k - 1}$ $\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$ $S_{k} = H_{k} P_{k | k - 1} H_{k}^{T} + R_{k}$ $\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k$ $K_{k} = P_{k | k - 1} H_{k}^{T} S_{k}^{- 1}$ $\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}$ ${\hat{x}}_{k | k} = {\hat{x}}_{k | k - 1} + K_{k} {\tilde{y}}_{k}$ $\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k$ $P_{k | k} = (I - K_{k} H_{k}) P_{k | k - 1}$ $\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}$

칼만 이득 는 이전 추정 에 대한 오차 의 상대적 중요성을 나타냅니다 . $K_k$ $\tilde{\textbf{y}}_k$ $\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$

칼만 게인 의 공식을 직관적 으로 이해하는 방법이 궁금합니다 . 상태와 출력이 스칼라 인 경우를 고려할 때 이득이 더 큰 이유는 무엇입니까? $K_k$

$\textbf{P}_{k|k-1}$ 이 더 큽니다
$\textbf{H}_k$ 가 더 큽니다
$\textbf{S}_k$ 가 더 작습니까?

감사합니다.

kalman-filters

— 팀
소스

이것은 제대로 대답하기 어려운 질문입니다. 나는 시도했지만 내 자신의 대답에 확신하지 못했습니다. 기본적으로 게인은 추정보다 측정을 얼마나 신뢰하는지 제어하지만이 게인이 어떻게 적용되는지는 설명 할 수 없습니다.

— Jav_Rock 2016 년

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Kalman Gain 직관적으로 생각하는 좋은 방법을 찾았습니다 . 이런 식으로 를 쓰면 $K$ $K$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{\frac {P_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

행렬의 상대적인 크기 ( )와 ( )는 필터의 예측 된 상태 추정값 사용 ( ) 과 측정 ( ) 사이의 관계를 제어한다는 것을 있습니다. $R_k$ $P_k$ $x_{k}⁻$ $ỹ_k$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{R_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf{H_k^{-1}}$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{P_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf 0$

첫 번째 한계를 측정 업데이트 방정식으로 대체

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

의 크기 가 작을 때 (측정이 정확함을 의미) 상태 추정값은 대부분 측정에 의존합니다. $R$

상태가 정확하게 알려지면 는 과 비교하여 작고 필터는 이전 상태 ( ) 에서 파생 된 예측에 의존하는 측정을 대부분 무시합니다 . $H P^⁻ H^T$ $R$ $x_k⁻$

— Jav_Rock
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감사! 내가 맞으면 는 와 관련하여 .

K_{k}

$K_k$

H_{k}

$H_k$

— Tim

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칼만 게인은 측정을 통해 추정치 를 얼마나 변경하고 싶은지 알려줍니다 .

${\bf S}_k$ 는 측정치 의 추정 공분산 행렬입니다 . 이것은 측정에서 "가변성"을 알려줍니다. 크면 측정 값이 많이 변한다는 것을 의미합니다. 따라서 이러한 측정에 대한 확신은 낮습니다. 반면에, 경우 작고 , 변화는 측정의 증가 우리의 자신감은 낮다. 측정 결과에 대한 확신이있을 때 얻은 정보가 상태 추정치를 업데이트 / 변경하기에 충분하다고 확신했습니다. 따라서 칼만 이득이 더 높습니다. ${\bf z}_k$ ${\bf S}_k$

${\bf P}_k$ 는 추정 된 상태 공분산 행렬입니다. 이것은 우리에게 상태의 "변수"를 알려줍니다 . 경우 크고 ,이 상태는 많은 변경 예상되는 것을 의미한다. 따라서 새로운 측정 값으로 추정값을 변경할 수 있어야합니다. 결과적으로 칼만 이득이 더 높습니다. ${\bf x}_k$ ${\bf P}_k$

반대로 가 작 으면 주가 그다지 많이 변하지 않는다는 것을 알고 있으므로 매 순간마다 추정치를 너무 많이 변경하고 싶지 않습니다. @Jav_Rock의 대답에 따르면 이면 입니다. 다시 말해, 주가 더 이상 변하지 않는다고 생각하면 더 이상 견적을 변경하려고 시도하지 않는다는 것을 의미했습니다. ${\bf P}_k$ ${\bf P}_k \rightarrow 0$ $K\rightarrow 0$

— ssk08
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Jav_Rock이 포인트를 얻었습니다. 실제로 이런 식으로 $\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{H_k^-\frac {H_kP_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

분수의 분자는 모델에서 전파 된 불확실성을 나타내고 는 측정의 불확실성을 나타냅니다. 따라서 분수의 값은 Jav_Rock이 설명하는 것처럼 측정을 얼마나 신뢰해야 하는지를 나타냅니다. $\bf{R_k}$

에 관해서는 우리가 업데이트를하지 관찰을 원하는 상태이기 때문에, 그냥, 상태로 관찰 다시 변환. $\bf{H_k^-}$

, 이득 는 관측에서 취해야 할 보정량을 계산하고 관측 보정을 상태 보정으로 다시 변환하여 상태 추정값을 업데이트합니다. $\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

— 지 카오 장
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KF (Kalman Filter) 알고리즘을 개발 중입니다. 칼만 게인은 시간에 따른 알고리즘 수렴, 즉 알고리즘이 얼마나 빨리 수정하고 잔차를 최소화 하는지를 관찰했습니다.

방정식으로 오면 초기 칼만 게인 값을 선택하고 낮은 값에서 높은 값으로 변경하면 근사값을 얻을 수 있습니다.

— 하샤
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