크기 전용 주파수 응답에서 전달 함수를 추정하는 방법은 무엇입니까?

임의의 주파수 응답이 주어지면, 주어진 주파수 응답에 대해 (일부 주어진 추정 품질 기준에 대해) "합리적으로 좋은"근사치를 제공하는 전달 함수 (극점 및 영 성좌)를 추측, 추정 또는 결정할 수있는 신호 처리 방법은 무엇입니까? 주어진 전달 함수에 주어진 극점 및 영점의 수와 주어진 근사 오차 허용치를 추정하는 수단은 무엇입니까? 또는 가능한 경우 이러한 제약 조건을 충족시킬 수 없는지 어떻게 결정할 수 있습니까?

주어진 주파수 응답이 실제로 알려진 전달 함수에 의해 생성 된 경우 이러한 방법 중 어느 것이 해당 원래 전달 함수에 수렴됩니까? 주어진 주파수 응답에 가우스 측정 오차가 있다고 가정하면 어떻습니까?

연속 도메인 응답도 흥미로울 수 있지만 샘플링 된 스펙트럼으로 Z 평면에서 작업한다고 가정합니다.

추가됨 : 주파수 응답의 크기 만 제공되는 경우 솔루션 방법이 달라 집니까 (예 : 위상 응답이있는 솔루션이 허용됩니까)?

추가 : 후자의 문제는 단위 원 주위에 알려진 크기 응답이지만 알 수 없거나 측정되지 않은 위상 응답을 고려할 때 가장 관심이있는 것입니다. 측정 시스템을 추정 할 수 있습니까? 그렇다면 어떤 조건에서?

transfer-function frequency-response zeros

— hotpaw2
소스

임의의 주파수 응답을 합리적인 스펙트럼으로 근사하려고합니까? 즉 (b [0] + b [1] z ^ -1 ...) / (1 + a [1] z ^ -1 ...)입니까? 그렇다면,이를 일반적으로 ARMA 모델링이라고합니다. 신호의 자기 상관은 이동 평균 계수 (b [] 또는 0)와 비선형 적으로 관련되는 경향이 있기 때문에 AR 모델링보다 어렵습니다. 내 가정이 맞다면 좀 더 공식적인 답변을 쓸 수 있습니다.

— Bryan

@ 브라이언 : 예. 나는 "극점 및 영점"솔루션 (합리적 전달 함수)이 적절하다는 것을 암시하려고 노력했다.

— hotpaw2

주파수 응답 에는 어떤 의미가 있습니까? 어떤 사람들은 주파수 응답 함수

또는

와 전달 함수

구별 하지만 어떤 사람들은 그렇지 않습니다. 예를 들어, 이전 질문에 대한 이 답변 뒤에 나오는 토론을 참조하십시오 .

H (ω)

$H(\omega)$

H (f)

$H(f)$

H (s)

$H(s)$

— Dilip Sarwate

@Dilip Sarwate : 단위 원에 대해서만 H (w)가 주어지면 (이것은 중복입니까?) 완전한 z 평면 표현을 풀거나 추정하십시오. 바라건대, 그것은 원래의 질문에 대한 진술과 일치합니다.

— hotpaw2

당신은 또한 변화합니다. 극점과 영점은 크기 응답이 동일하게 유지되면서 변경 될 수 있습니다. 가장 일반적인 예는 최소 위상 필터를 설계 할 때입니다. 여기에는 일반적으로 기존 시스템을 사용하고 단위 원 내부의 극점과 영점을 반영하는 것이 포함됩니다. 이것은 크기 응답이 아닌 위상 응답 만 변경합니다.

— Bryan

답변:

한 가지 방법은 주파수 영역 최소 제곱 (FDLS) 방법을 사용하는 것 입니다. 불연속 시간 시스템의 주파수 응답에 대한 (복잡한) 샘플 세트와 설계자가 선택한 필터 차수를 고려할 때 FDLS 방법은 선형 최소 제곱 최적화를 사용하여 계수 세트 (폴 세트에 직접 매핑)를 해결합니다. 주파수 응답이 최소 총 제곱 오차로 원하는 응답과 일치하는 시스템의 경우 0).

차 선형 이산 시간 시스템 의 주파수 응답은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $N$

H (ω) = H (z) |_{z = e^{j ω}}

$H(\omega) = H(z)|_{z=e^{j\omega}}$

여기서 는 도메인 에서 시스템의 전달 함수입니다 . 이것은 일반적으로 시스템의 차이 방정식에서 직접 따르는 합리적인 형식으로 작성됩니다. $H(z)$ $z$

H (z) = \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_{k} z^{- k}}{1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} z^{- k}}

$H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_kz^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}$

따라서 주파수 응답은 다음과 같습니다.

H (ω) = \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω}}{1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω}}

$H(\omega) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}}$

위를 다시 정렬하여 얻으십시오.

\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω} - H (ω) (1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω}) = 0

$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega} - H(\omega) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}\right) = 0$

$2N+1$ $b_k$ $a_k$ $H(\omega)$ $\omega$

$\omega_m \in [0, 2\pi), m = 0, 1, \ldots , M-1$ $M > 2N+1$ $M \gg 2N+1)$ $\omega_k$

\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω_{k}} - H (ω_{k}) (1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω_{k}}) = 0

$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega_k} - H(\omega_k) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega_k}\right) = 0$

$H(\omega_k)$ $\omega_k$ $b_k$ $a_k$ $H(\omega)$

이 기술에는 몇 가지 장점이 있습니다.

템플릿으로 임의의 복소수 (크기 및 위상) 주파수 응답을 사용할 수 있습니다. 크기 제한 만있는 경우 선형 위상과 같은 위상 응답을 선택할 수 있습니다.
$a_k$
이 기술은 구현이 매우 간단하고 원하는 시스템 순서에 따라 쉽게 매개 변수화 할 수 있습니다.
$N$

필요한 경우 가중 최소 제곱 최적화를 사용하도록이 방법을 약간 확장 할 수 있습니다. 이를 통해 근사 오차가 다른 것보다 가중되는 주파수 응답 영역을 지정할 수 있습니다. 이를 통해 통과 대역 / 스톱 밴드 영역을보다 엄격하게 제어하면서 "관리하지 않는"영역에서 더 많은 경사를 유지할 수 있습니다.

— 제이슨 R
소스

훌륭한 답변 !! 최소 제곱 오차로 필터 설계를 수행 할 때 "기술"은 정확히 "오류"가 무엇인지 올바르게 정의하는 것입니다. 올바른 주파수 그리드를 선택하고 특정 주파수의 가중치를 적용하고 대역 외 동작에 대한 제약 조건을 추가하고 극을 단위 원 안에 유지하기 위해 제어됩니다.

— Hilmar

이 잠재적 인 솔루션의 문제점은 기존 전달 함수에 대해 위상을 알 수없는 경우, 오더가 정확하게 정확하게 추측되거나 크기 응답이 측정 되더라도 FDLS가 잘못된 위상을 가정 할 경우 잘못된 솔루션에 수렴 될 수 있다는 것입니다.

— hotpaw2

@ hotpaw2 : 예상됩니다. 위상 응답에 대해 아무것도 모르는 경우 똑같이 유효한 (즉, 정확한 크기 응답을 갖는) 무한한 수의 솔루션이 있습니다. 가장 적합한 솔루션으로 간주되는 방향으로 안내하기위한 정보가 필요합니다.

— Jason R

@JasonR : 유일한 올바른 솔루션은 뒤집기 극 / 0의 내부 / 외부 순열이어야합니다.

— hotpaw2

내 동료들은 벡터 피팅에 대해 훌륭한 결과를 얻었습니다 .

벡터 피팅은 주파수 영역에서 합리적인 근사치를위한 강력한 수치 방법입니다. 단일 또는 다중 입력 / 출력 시스템 모두에 대해 측정되거나 계산 된 주파수 응답에서 직접 상태 공간 모델을 식별 할 수 있습니다. 결과 근사값은 실제 또는 복잡한 켤레 쌍으로 오는 안정적인 극을 보장합니다.

FIR에서 IIR 로의 변환에 사용합니다.

덜 까다로운 응용 분야의 경우 고정 된 수의 극점과 영점에 비선형 최소 제곱 피팅을 사용할 수 있습니다. 이것은 Matlab에서 invfreqsand 로 구현됩니다 invfreqz.

— 니봇
소스

또 다른 접근법은 주파수 응답을 플롯하고 가능한 한 Bode 플롯에 맞 춥니 다. 이것은 대략적인 솔루션에 대해 매우 빠르게 수행되거나 더 나은 적합을 위해 정교한 최소 제곱 의미로 수행 될 수 있습니다. GTH

— G Heydt
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