가우스 잡음 하에서의 칼만 추정치의 통계적 특성

독립적 인 가우시안 상태와 출력 잡음이 있고 초기 상태에 대한 완벽한 추측을 갖는 선형 상태 공간 모델의 경우 Kalman 추정값 에는 다음과 같은 특성이 있습니다.

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$ 어디

$x_k$ 는 시간 의 상태 이며, 임의입니다 $k$
$\hat{x}_{k|k}$ 및 는 Kalman 배출기, 즉 Kalman 필터의 출력입니다. $P_{k|k}$

이것에 대한 언급이 있습니까?

감사!

kalman-filters

— 팀
소스

입니다

P_{k | k}

$P_{k|k}$ 의 사후 시점에서 추정 된 공분산 행렬

k

$k$ ? 실제로 사용되는 표준 표기법은 없으므로 "Kalman 추정치"의 의미가 무엇인지 명확하지 않습니다.

— Jason R

@Jason : 그렇습니다, ...

— Tim

답변:

다음 두 문장은 말하는 것과 같습니다.

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) 견적자는 편견이 없다 . 과

피_{케이 | 케이} = V ㅏ 아르 자형 ({\hat{엑스}}_{케이 | 케이} - {엑스}_{케이})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) 추정기는 일관성이있다 .

필터가 최적이 되려면이 두 조건이 모두 필요 합니다. $\mathbf{x}_{k|k}$ 일부 기준과 관련하여.

(1)이 참이 아닌 경우 평균 제곱 오차 (MSE)는 편차에 분산을 더한 값입니다 (스칼라 경우). 분명히 이것은 분산보다 크므로 차선책입니다.

(2)가 참이 아닌 경우 (즉, 필터 계산 공분산이 실제 공분산과 다른 경우) 필터도 차선책이됩니다. 칼만 이득은 계산 된 상태 공분산을 기반으로하기 때문에 공분산의 오차는 이득의 오차를 초래합니다. 게인의 오차는 측정의 차선책을 의미합니다.

(올바르게 모델링 된 필터의 경우 두 조건이 모두 적용됩니다. 동적 모델 또는 노이즈 공분산과 같은 모델링 오류로 인해 필터가 최적이되지 않습니다.)

출처 : Bar-Shalom , 특히 232-233 페이지의 섹션 5.4.

— 다미 엔
소스

참고하는 것이 중요합니다 $x_k$ 임의의 변수가 아닙니다. 결정적인 시스템 상태이며 일반적으로 $k$ .

이자형 ({\hat{엑스}}_{케이 | 케이}) = {엑스}_{케이}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$ 그것은 말하는 것과 같습니다

이자형 ({\hat{엑스}}_{케이 | 케이} - {엑스}_{케이}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

또한,

V ㅏ 아르 자형 ({엑스}_{케이}) = 0

$Var(x_k) = 0$

과,

피_{케이 | 케이} = V ㅏ 아르 자형 ({\hat{엑스}}_{케이 | 케이})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$ 그것을 감안할 때

x_{k}

$x_k$ 결정 론적이며

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

배경

$x_k$ 결정적인 시스템 상태입니다. 이것은 대부분의 문헌에서 다음과 같이 표현되는 시스템 노이즈와 반대입니다. $w$ 차이가있는 $Q$ . 더욱이 일부 문헌은 시스템 잡음을 계수 행렬로 모델링합니다. 이 경우 $Q$ 매트릭스는 $GQG^T$ 전파 추정에서 $G$ 잡음 계수 행렬입니다. 자세히 설명하기 위해이 경우 시스템 표현은 다음과 같습니다.

{엑스}_{케이 + 1} = ㅏ {엑스}_{케이} + 비 유_{케이} + 지 승

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

참고로 : 칼만의 논문 자체 :http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— 아야오
소스

내가 아는 한

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$ 임의의 과정입니다. 의 분산

x_{k}

$x_k$ 공정 소음에 의해 주어진다. 주어진 실현을 위해

x_{k}

$x_k$ 결정적입니다.

— Royi

@Drazick 프로세스 노이즈는 일반적으로 분산 Q와 함께 심볼 w가 지정됩니다. xk는 시스템 상태이며, 상태가 무작위라는 것은 의미가 없습니다. 랜덤 변수 인 다른 변수에 대한 추정은 의미가 있습니다.

— aiao

혼란 스러워요 : 어떻게

x_{k + 1}

$x_{k+1}$ 만약에 결정 론적이다

G w

$Gw$ (확률 론적)이 그것을 형성하기 위해 추가되고 있습니까? 유일한 방법

x_{k + 1}

$x_{k+1}$ 확률 론적 구성 요소가 제로라면 결정론적일 수 있습니까?

— Peter K.

@PeterK. 때문에

w

$w$ 매번 확실한 실현을 가정

k

$k$

— aiao

칼만 자신은 상태 벡터를 확률 변수로 간주하지 않았지만 (이를 Doucet에 속한다고 생각하지만 잘못되었을 수도 있습니다) 칼만 필터는 Bayes Rule에서 파생 될 수 있습니다. 이 경우 상태 벡터

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$ . Wikipedia를 참조하십시오 .

— Damien 2016 년