주어진 신호의 주파수 내용을 볼 수있는 수학 연산 인 푸리에 변환을 이해합니다. 그러나 지금, 내 통근에서. 물론, 교수는 힐버트 변환을 도입했습니다.

Hilbert Transform이 FFT에 곱 하거나 시간 함수를 변환한다는 사실을 감안할 때 주파수 내용과 다소 관련이 있음을 이해합니다 .$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

힐버트 변환의 ​​의미는 무엇입니까? 주어진 신호에 변환을 적용하면 어떤 정보를 얻을 수 있습니까?

힐버트 변환의 ​​한 응용은 소위 분석 신호를 얻는 것입니다. 신호 $s(t)$ , 그 힐버트 변환 S ( t는 ) 조성물로서 정의된다 :$\hat{s}(t)$

우리가 얻는 분석 신호는 복잡한 값을 가지므로 지수 표기법으로 표현할 수 있습니다.

어디:

$A(t)$ 는 순간 진폭 (봉투)입니다

$\psi(t)$ 는 순간 단계이다.

그래서 이것들이 어떻게 도움이 되나요?

순간 진폭은 많은 경우에 유용 할 수 있습니다 (단순 고조파 신호의 포락선을 찾는 데 널리 사용됨). 임펄스 응답의 예는 다음과 같습니다.

둘째, 위상을 기반으로 순간 주파수를 계산할 수 있습니다.

이는 스위프 톤의 주파수 감지, 회전 엔진 등과 같은 많은 응용 분야에서 다시 유용합니다

사용의 다른 예는 다음과 같습니다.

• 통신에서 협 대역 신호 샘플링 (대부분 Hilbert 필터 사용).

• 의료 영상.

• 도착 방향에 대한 배열 처리.

• 시스템 응답 분석.

평신도 용어로, 힐버트 변환은 실제 데이터에 사용될 때 정지 현상에 대해 "특정한"복잡한 데이터로 변환함으로써 "진정한 (즉시) 진폭"(및 그 이상)을 제공합니다. 예를 들어, 코사인 는 시각적 사이에 흔들 때문에 당신이 직접 보지 않는, 본질적으로 진폭 1 인 - 1 과 1 사라 주기적으로합니다. 힐버트 변환은 "가장 일관된 방식"으로 코사인을 보완하여 결과적으로 복잡한 함수 cos ( t ) + i sin ( t )를 보완합니다.$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$ 모든 초기 정보를 유지하고 "진폭"은 직접 계수 1입니다. 대역 제한 및 지역 개념이 작용함에 따라 위의 모든 사항에주의를 기울여야합니다.

힐버트 변환 (및 더 높은 차원의 Riesz 변환)은보다 기본적인 도구 일 수 있습니다. Steven G. Krantz의 복잡한 기능 이론과 Heisenberg 그룹에 응용 한 고조파 분석 탐색의 2 장 프롤로그를 좋아합니다 .

프롤로그 : 힐버트 변환은 의심 할 여지없이 분석에서 가장 중요한 연산자입니다. 그것은 많은 다른 상황에서 발생하며,이 모든 상황은 심오하고 영향력있는 방식으로 얽혀 있습니다. 이 모든 것은 1 차원에 단 하나의 적분 만 존재한다는 것이 힐버트 변환이라는 것입니다. 철학은 모든 중요한 분석 질문이 단일 정수로 줄어든다는 것입니다. 첫 번째 차원에는 한 가지 선택 만 있습니다.

신호 / 이미지 처리 응용 분야는 순간 진폭 / 주파수 추정, 진폭만을위한 인과 적 필터 구성 (Kramers-Krönig 관계), 소량의 2D 지향성 웨이블릿, 변이 불변 에지 검출, 기타

힐버트는 2009 년 F. King의 두 권을 제안한다 .

변환 (FT 또는 Hilbert 등)은 새로운 정보를 전혀 만들지 않습니다. 따라서 1D / 실제 신호의 힐버트 변환에 의해 제공되는 "정보 획득"또는 결과 분석 복소 신호의 추가 된 차원은 해당 신호에 포함 된 각 지점의 로컬 환경을 요약 한 형태입니다. 포인트.

국부 위상 및 엔벨로프 진폭과 같은 정보는 실제로 각 국부 지점을 둘러싸는 신호의 일부 폭 또는 범위 (무한한도까지)에 대한 정보입니다. 힐버트 변환은 1D 실제 신호에서 복잡한 분석 신호의 한 구성 요소를 생성 할 때 신호의 주변 범위에서 일부 정보를 신호의 각 단일 지점으로 압축하여 더 많은 결정을 내릴 수 있도록합니다 (예 : 비트 복조) , 각 로컬 (현재 복잡한) 지점 또는 샘플에서 각각의 신호에 대해 약간의 폭을 가진 새로운 (웨이블릿, 윈도 드 Goertzel 등) 창을 다시 스캔하거나 처리 할 필요없이 엔벨로프 진폭 등을 그래프로 표시 포인트.

힐버트 변환에 의해 생성 된 분석 신호는 많은 신호 분석 응용에 유용합니다. 신호를 먼저 대역 통과 필터링하면 분석 신호 표현이 신호의 로컬 구조에 대한 정보를 제공합니다.

• $\pi$$\pm \pi/2$
• 진폭은 대칭 (위상)에 관계없이 점에서 구조의 강도를 나타냅니다.

이 표현은

• 지역 에너지를 통한 특징 탐지 (진폭)
• 단계를 이용한 특징 분류
• 위상 합동을 통한 특징 탐지

또한 Riesz 변환, 예를 들어 단조로운 신호를 사용하여 더 높은 차원으로 확장되었습니다.

힐버트 변환을 구현하면 원래의 실제 값 신호를 기반으로 분석 신호를 만들 수 있습니다. 그리고 통신 세계에서는 분석 신호를 사용하여 원래의 실제 값 신호의 순간 크기를 쉽고 정확하게 계산할 수 있습니다. 이 과정은 AM 복조에 사용됩니다. 또한 분석 신호를 통해 원래의 실제 값 신호의 순간 위상을 쉽고 정확하게 계산할 수 있습니다. 이 과정은 위상 및 FM 복조에 모두 사용됩니다. 교수 시스템은 힐버트 변환을 다루는 데있어서 정확합니다. 왜냐하면 그것은 통신 시스템에 매우 유용하기 때문입니다.

이미 훌륭한 답변이지만 디지털 영역에서 신호를 분석 버전으로 쉽게 변환 할 수 있다고 덧붙이고 싶습니다 (필요한 하프 밴드 필터의 계수의 절반은 0과 같습니다). 샘플 레이트를 줄일 수 있습니다 절반, 본질적으로 처리를 실제와 가상의 경로로 나눕니다. 분명히 여기에 비용이 있으며 일부 크로스 용어를 처리해야하지만 일반적으로 클럭 속도가 중요한 경우 하드웨어 구현에 도움이됩니다.

다른 답변에서 이미 설명했듯이 힐버트 변환은 엔벨로프와 신호 위상을 찾는 데 사용할 수있는 anaytic 신호를 얻는 데 사용됩니다.

힐버트 변환을 보는 또 다른 방법은 주파수 영역입니다. 실제 신호는 동일한 양의 주파수 성분과 음의 주파수 성분을 가지므로 분석시이 정보는 중복됩니다.

힐버트 변환은 음의 주파수 부분을 제거하고 양의 주파수 부분의 크기를 두 배로 늘리는 데 사용됩니다 (전력을 동일하게 유지하기 위해).

여기서 설계된 힐버트 변환 필터는 본질적으로 50MHz ~ 450MHz의 주파수를 통과하는 대역 통과입니다. 입력은 200MHz 및 500MHz와 동일한 주파수를 갖는 두 개의 정현파 신호의 합입니다.

PSD 플롯에서 우리는 200MHz 신호의 음의 주파수 성분이 감쇠되는 반면 500MHz 신호는 그대로 통과하는 것을 볼 수 있습니다.

이 질문에는 이미 많은 훌륭한 답변이 있지만, 이 페이지 에서 힐버트 변환의 ​​개념과 유용성을 크게 정리 한이 간단한 예와 설명을 포함하고 싶었 습니다.

$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ $Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ ${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$$z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$ ``필터링되었습니다. ''

(면책 조항 : 나는 페이지의 저자가 아닙니다 )