대역 제한 비선형 왜곡과 같은 것이 있습니까?

따라서 샘플 경계에서 두 값 사이에서 신호를 전환하여 구형파를 생성하면 무한한 일련의 고조파가 생성됩니다. 솔루션은 대역 제한 합성입니다 . 가산 합성 또는 대역 제한 단계를 사용하여 샘플링하기 전에 이상적인 수학 구형파를 대역 제한 한 것과 같은 파형을 생성합니다.

http://flic.kr/p/83JMjT

그러나 디지털 사인파에 큰 증폭을 적용한 다음 디지털로 클리핑하면 Gibbs 현상 잔물결없이 동일한 구형파 모양이 생성됩니다. 그러면 앨리어싱 된 왜곡 제품도 생산됩니다. 그래서 어떤 나이 퀴 스트 한계의 외부 고조파를 생산하는 디지털 영역에서 비선형 왜곡 앨리어싱 왜곡 제품을 생산할 것인가? (편집 : 몇 가지 테스트를 수행 했으며이 부분이 사실임을 확인했습니다.)

대역 제한 및 샘플링 전에 (디지털 영역에서) 왜곡 (아날로그 영역)의 왜곡 효과를 시뮬레이션하기 위해 대역 제한 왜곡과 같은 것이 있습니까? 그렇다면 어떻게해야합니까? "bandlimited distortion"을 검색하면 Chebyshev 다항식에 대한 참조가 있지만이를 사용하는 방법이나 사인파에 대해서만 작동하는지 여부는 알 수 없습니다.

본 악기는 대역 제한 왜곡을 생성하지 않습니다. 대역 제한 왜곡에 관심이있는 사람은 Chebyshev 다항식을 사용하여 효과를 생성하는지 조사해야합니다. 쌍곡 탄젠트 왜곡

 

"체비 쇼프 다항식"- 그들은 인한 중복 등으로 스퓨리어스 스펙트럼 고조파 소개하지 않는, 즉 중요한 속성 기능을 형성 그들은 본질적으로 대역 제한 있음 웨이브 셰이퍼를

비선형 기능을 적용하면 항상 고조파가 발생하며 샘플링 된 버전의 연속 신호와 비선형 기능을 혼합하면 위에서 언급 한 주름이 추가됩니다 (고주파 고조파는 저주파의 별칭입니다).

몇 가지 방법으로 진행할 수 있습니다.

1. 여분의 고조파를 포착 할 수있을 정도로 높은 오버 샘플링 팩터를 사용할 수 있습니다 (예 : 노이즈 플로어와 같은 임의의 정밀도까지).
2. 하드 클리퍼보다 빨리 고조파가 발생 하는 "부드러운"클리핑 기능 (예 : 여기 참조)을 사용할 수 있습니다 . 이것은 모델링하기는 쉽지만 저주파수에서 자체 왜곡이 발생합니다.
3. 위에서 제안한 접근 방식을 바탕으로 샘플 신호를 보간하여 (예 : Lagrange 또는 Chebyshev 보간기를 사용하여) 연속 시간 모델을 구성하십시오. 그런 다음 시뮬레이션 된 연속 시간 도메인에서 하드 클리퍼 및 저역 통과를 적용하십시오. 결과를 샘플링하십시오.

(1)과 (2)를 결합 할 수 있습니다. 세 번째 접근 방식은 복잡하지만 허용 할 왜곡의 양을 가장 잘 제어 할 수 있으며 매우 높은 충실도 요구 사항에 맞게 확장 할 수 있습니다.

$f(x)$

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \left[ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\right]$$

$f(x)$$x=g(t)$$g(t)$$x^n$$g(t)^n$$n$$n$$n$신호의 시간을 곱합니다. 그림을 완성하려면 각 항과 관련된 진폭을 파악하고 합계의 항 수를 결정해야합니다.

(작은 생각으로이 양식을 직접 사용하여 필터링 된 비선형 성을 근사화 할 수도 있습니다.이 경우 클리퍼에 대한 일련의 표현이 필요합니다.)

앨리어스가없는 비선형 왜곡에 대한 몇 가지 접근 방식 (어려움 난이도 증가) :

1. 부대 역 왜곡 : 저역 통과 필터를 사용하여 신호의 하단을 추출합니다. 차단 주파수를 선택한 경우$\frac{f_s}{2N}$$f$$f^{N+1}$

2. $N$$2N$

3. $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^M$$N$$M>N$

4. 기반 대수 설계 구속 : 이전 항목에서는 앤티 앨리어싱 비선형 왜곡이 비선형 필터로 이어짐을 확인했습니다. 물론 모든 비선형 필터에 별칭이없는 것은 아니지만 일부 필터가있을 수 있습니다. 따라서 명백한 질문은 기준이 그러한 필터를 엄격하게 앨리어스없이 만들고 설계하는 방법입니다. 알 수 있듯이, 비선형 필터는 서브 샘플 변환으로 통근한다는 등의 앨리어싱이없는 것과 동등한 문장입니다. 따라서 먼저 번역 한 다음 필터링하거나 먼저 필터링 한 다음 번역하면 차이가 없는지 확인해야합니다. 이 조건은 매우 엄격한 설계 제약으로 이어집니다비선형 필터의 경우 신호 변환을 실현하는 방법에 따라 다릅니다. 예를 들어 이상적인 변환에는 비선형 필터에 대해 무한히 많은 계수가 필요합니다. 따라서 유한 비선형 필터를 얻으려면 신호 변환을 유한 순서로 근사해야합니다. 별칭이없는 정도는 사용하는 근사치에 따라 조정되지만 그에 대한 제어력은 매우 뛰어납니다. 이 접근 방식의 수학을 수행 한 후에는 비선형 필터 형태의 거의 이상적인 디지털 모델로 모든 부드러운 비선형 전송 함수를 설계 할 수 있습니다. 여기에 세부 사항을 스케치 할 수는 없지만이 설명에서 영감을 얻을 수 있습니다.

$$T_n(x) = \mathrm{cos}(n \, \mathrm{arccos}(x)).$$

여기서는 자세히 다루지 않겠지 만 , 위의 공식이 다항식을 정의하는 방법을 보여주는 De Moivre 's Theorem 을 사용하는 비교적 간단한 파생법이 있습니다 ( 해밍 디지털 필터의 7.2 절 참조 ). 삼각법 정의는 각 방법을 쉽게 볼 수 있기 때문에 유용합니다.$T_n(x)$

$$T_n(\mathrm{cos}(kx)) = \mathrm{cos}(n\,\mathrm{arccos}(\mathrm{cos}(kx))) = \mathrm{cos}(nkx). \tag{1}$$

다항식 자체는 다음과 같은 되풀이 관계를 사용하여 쉽게 생성 할 수 있습니다 .

$$T_0(x) = 1 \\ T_1(x) = x \\ T_n(x) = 2x\,T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x).$$

처음 몇 가지는 다음과 같습니다.

$$\eqalign{ T_0(x) &= 1 \\ T_1(x) &= x \\ T_2(x) = 2x(x - 1) &= 2x^2 - 1 \\ T_3(x) = 2x(2x^2 - 1) - x &= 4x^3 - 3x \\ T_4(x) = 2x(4x^3 - 3x) - (2x^2 - 1) &= 8x^4 - 8x^2 + 1 \\ \ldots }$$

$(1)$$T_2$$\mathrm{cos}(x)$

$$\eqalign{2\,\mathrm{cos}^2(x) - 1 &= 2\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^2 - 1 \\ &= \frac{2}{4}(e^{i2x} + 2e^{ix}e^{-ix} + e^{-i2x}) - 1 \\ &= \left(\frac{e^{i2x} + e^{-i2x}}{2}\right) + \frac{2}{2} - 1 \\ &= \mathrm{cos}(2x). }$$

체비 쇼프 시리즈를 계산함으로써

$$f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}{a_n\,T_n(x)}$$

$n$$f(x)$

@ robert-bristow-johnson은 이것을 comp.dsp에서 매우 명확하게 설명합니다 .

유한 한 정도로 오버 샘플링해야합니다. (메모리없이, 나는 가정한다) 비선형 성을 유한 차수 다항식으로 구현하면 (구현하려는 커브와 거의 비슷 함) 다항식 차수는 오버 샘플링과 동일한 요소이며 별칭은 발생하지 않습니다. 그런 다음 저주파 통과 필터 (과다 샘플링 된 속도로)를 사용하여 원래 나이 퀴 스트보다 높은 모든 주파수 성분을 제거하고 다운 샘플링하면 앨리어싱이 발생하지 않습니다.

다시 말해, 비선형 성이 다항식이면 왜곡에 의해 생성 될 수있는 최고 주파수는 신호 에서 다항식 차수 N 의 최고 주파수가됩니다 . (다항식 비선형 성은 신호 자체에 N 배를 곱하기 때문에 스펙트럼이 자체적으로 얽히고 동일한 비율로 확산됩니다.)

따라서 최대 주파수 (Nyquist 또는 응용 프로그램의 하한에 관계없이)를 알고 다항식의 순서를 알 수 있으므로 앨리어싱을 방지하고 왜곡을 수행 한 다음 저역 통과 필터 및 다운 샘플링을 충분히 수행 할 수 있습니다.

실제로 다운 샘플링 전에 제거 될 대역에 포함되어있는 앨리어싱이 발생하도록하여 오버 샘플링 속도를 줄일 수 있습니다.

또 다른 작은 트릭은 LPF 할 영역으로 접는 앨리어싱에 신경 쓸 필요가 없다는 것입니다. 따라서 5 차 다항식은 3의 오버 샘플링 비율 만 있으면됩니다. 상위 2 개의 고조파는 앨리어싱 될 수 있지만베이스 밴드로 돌아 오지는 않습니다. 다운 샘플링시 앨리어싱 된 고조파를 필터링합니다. 그래서 나는 단단하고 빠른 규칙은

오버 샘플링 비율 = (다항식 + 1) / 2