Laplace 변환이 중복됩니까?

푸리에 변환은 대한 라플라스 변환이기 때문에 라플라스 변환은 푸리에 변환의 일반화입니다 (즉, 는 순수한 허수 = 제로 실수의 ). $s = j\omega$ $s$ $s$

조언:

푸리에 변환 : $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

라플라스 변환 : $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

게다가, 신호는 푸리에 변환과 라플라스 변환으로부터 정확하게 재구성 될 수 있습니다.

재구성에 Laplace 변환의 일부만 필요하므로 ( $\Re(s) = 0$ 부분) 나머지 Laplace 변환 ( $\Re(s) \neq 0$ )은 재구성에 유용하지 않은 것으로 보입니다. ...

사실인가요?

또한 Laplace 변환의 다른 부분에 대해 신호를 재구성 할 수 있습니까 (예 : $\Re(s)=5$ 또는 $\Im(s)=9$ )?

그리고 신호의 라플라스 변환을 계산 한 다음 라플라스 변환의 한 지점 만 변경하고 역 변환을 계산하면 어떻게됩니까? 원래 신호로 돌아 옵니까?

fourier-transform laplace-transform

— 빈츠
소스

왜 공감해야합니까? 질문에 잘못된 결론이 포함되어 있어도 의견이나 답변에서 잘 다룰 수 있습니다. 누군가가 분명히 노력을 기울 였다는 질문을 조용히 내리는 것은 그리 건설적이지 않습니다.

— Jazzmaniac

나는 질문을 올렸다. 각도 주파수 생각하고 있다면 푸리에 변환을 말하고 싶습니다 : 및 Laplace 변환 : . 그들은 그들이 같은 것 (sorta)이라는 것이 분명합니다.

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— robert bristow-johnson 2012

푸리에와 라플라스 변환에는 많은 공통점이 있습니다. 그러나 둘 중 하나만 사용할 수 있거나 둘 중 하나를 사용하는 것이 더 편리한 경우가 있습니다.

우선, 정의에서 를 바꾸 거나 그 반대로 바꾸는 경우에도 Laplace 변환 또는 Fourier 변환 가 주어지면 일반적으로 수행 할 수 없습니다 함수의. (두 개의 기능이 동일한 시간 도메인 기능에 대해 다를 수 있기 때문에 다른 인덱스를 사용합니다). Laplace 변환 만 존재하는 함수가 있습니다 (예 : , ). 여기서 는 Heaviside 단계 함수입니다. 그 이유는 라플라스 변환 정의의 적분이 대해서만 수렴하기 때문입니다 $s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$ 이는 푸리에 변환의 정의에서 해당하는 적분이 수렴하지 않음을 의미합니다. 즉,이 경우 푸리에 변환이 존재하지 않습니다.

두 변환이 모두 존재하지만 있습니다. 한 가지 예는 함수 입니다. 푸리에 변환에는 Dirac 델타 임펄스가 포함됩니다. $X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

마지막으로 푸리에 변환 만 있고 Laplace 변환은없는 함수도 있습니다. 이것은 라플라스 변환의 정의에서 적분이 대해서만 (특정 의미에서) 수렴 하지만 다른 값에 대해서는 수렴 하지 않음을 의미 . 라플라스 변환은 적분이 반평면 또는 복소수 평면 의 유한 크기의 수직 스트립으로 수렴하는 경우에만 존재한다고합니다 . 푸리에 변환 만 존재하는 이러한 함수에는 복잡한 지수 및 정현파 ( ) 및 sinc 함수와 관련된 이상적인 브릭 월 필터의 임펄스 응답이 포함됩니다. 예를 들어 함수 또는 $s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$ 라플라스 변환은 없지만 푸리에 변환이 있습니다.

Laplace 변환은 임펄스 응답의 Laplace 변환 인 전달 함수를 고려하여 선형 시간 불변 (LTI) 시스템의 동작을 분석하는 편리한 도구가 될 수 있습니다. 극과 컴플렉스의 전달 함수의 제로 편리하게 성격을 많은 시스템 속성을 -plane 시스템의 행동의 직관적 인 이해하는 데 유용합니다. 또한, 일방적 Laplace 변환은 초기 조건이 0이 아닌 LTI 시스템을 분석하는 데 매우 유용합니다. 푸리에 변환은 이상적인 저역 통과 또는 대역 통과 필터와 같은 이상적인 (비인 과적, 불안정한) 시스템을 분석하는 데 유용한 도구입니다. $s$

또한 관련 질문에 대한 이 답변 을 살펴보십시오 .

— 맷 L.
소스

푸리에 변환은 이상적인 (비인 과적, 불안정한) 시스템을 분석하는 데 유용한 도구입니다.

— Vinz

@ user17604 : 내가 쓴 것을 의미했습니다. 물론 인과적이고 안정적인 (및 이상적이지 않은) 시스템에도 사용할 수 있습니다. 그러나 중요한 용도 중 하나는 Laplace 변환을 사용할 수없는 이상적인 시스템 (예 : 이상적인 주파수 선택 필터)을 분석하는 것입니다.

— Matt L.

@MattL. 큰 대답이지만, "0이 아닌 초기 조건으로 LTI 시스템 분석"이 혼란 스럽습니다. LTI 시스템이 어떻게 0이 아닌 초기 조건을 가질 수 있습니까?

@ 0MW : 예, 아마도 "그렇지 않으면 LTI 인 시스템 (처음에는 정지 된 시스템)"이라고 말했을 것입니다.

— 매트 L.