연속 함수의 샘플링 : 크로네 커 또는 디락의 델타?

나는 신호 처리에 관한 몇 가지 논문을 읽었으며 질문 제목의 문제에 대해 매우 혼란스러워합니다. 시간의 연속 함수 고려 , , 불균일 시간에 I 샘플 , 여기서 . 나에게 샘플링 된 함수는 다음과 같습니다 $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$ 여기서 는크로네 커의델타입니다 ( 일때 같고다른 곳에서는 0 임). 그러나이백서에서 저자는 샘플링 된 신호를 다음과 같이 정의합니다.

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

여기서

는 Dirac의 델타 함수이며

이 여기에 나타나는이유는 실제로 알 수 없습니다(작성자) 샘플링 함수는 실제로 가중 델타 함수

가중 합이라고 주장합니다.

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$

1 / N

$1/N$

여기서 그는

을 선택합니다. 나는 왜 그런지 이해하지 못했습니다). 이 마지막 문장은 나에게별로 이해가되지 않습니다 : 샘플링 된 신호는

에서 무한 진폭을 갖습니다!

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

$f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— 네스터
소스

Dirac 임펄스 트레인으로 연속 시간 신호를 곱하여 샘플링 프로세스를 모델링하는 것이 내 경험에서 가장 일반적인 해석입니다. 충분히 깊이 파고들었다면,이 접근법의 수학적 정확성에 대해 약간의 의견 차이가있을 것입니다. 그러나 나는 그것에 대해 걱정하지 않습니다. 프로세스에 편리한 모델 일뿐입니다. 휴대 전화의 ADC 내부에는 아날로그 입력을 증가시키는주기적인 번개 볼트를 생성하는 임펄스 발생기가 없습니다.

앞서 언급했듯이, 크로네 커 델타 함수의 연속 시간 푸리에 변환은 도메인이 연속적이지 않기 때문에 (정수로 제한됨) 계산할 수 없습니다. 이와 대조적으로 Dirac 델타 함수는 간단한 푸리에 변환을 가지며 신호를 Dirac 임펄스 트레인에 곱하는 효과는 체질 특성으로 인해 쉽게 표시됩니다.

* : 예를 들어, 수학적으로 정확하다면 Dirac 델타는 전혀 기능이 아니라 분포 입니다. 그러나 엔지니어링 수준에서 이러한 문제는 실제로 의미 론적입니다.

편집 : 아래 주석을 다룰 것입니다. 샘플링 프로세스의 정신 모델을 다음과 같이 제공했습니다.

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

맞지 않습니다. 대신 샘플링 된 신호의 모델은 다음과 같습니다.

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

$t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

$f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

이것은 정확히 이산 시간 푸리에 변환 의 정의입니다 .

— 제이슨 R
소스

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

위의 주석에서 편집 한 내용 과 오류가 있습니다. 그러나, 임펄스가 에서 무한한 진폭을 가지고 있다는 사실에 대해서는 여전히 마음을 정할 수 없습니다.

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$