FIR 필터는 몇 개의 탭이 필요합니까?

20

저역 통과 필터를 구현하기 위해 FIR 필터 세트를 설계하려고합니다. 또한 필터를 통해 신호의 대기 시간을 줄이려고 할 수 있으므로 사용할 수있는 최소 탭 수가 무엇인지 궁금합니다.

나는 더 많은 탭이 등 주파수의 선명한 차단하고 더 나은 정지 대역 거부로 이어질 수 있다는 사실을 알고하지만 나는 관심에보다 근본적인있어 무엇을 - 나는에서 컷오프 로우 패스 필터 구현하려는 경우 은 저주파수 신호를 감쇠시키기 위해 적어도 100 개의 탭이 필요하다는 것을 의미합니까? 아니면 더 적은 수의 탭으로 도망 갈 수 있습니까? 그렇다면 이론적 인 하한이 있습니까? $\frac{f_s}{100}$

filter-design fir

— 나사 돌리개
소스

24

Bellanger의 고전적인 디지털 신호 처리 – 이론 및 실습을 인용 하면 요점은 차단 주파수의 위치가 아니라 필요한 감쇠량, 보존하려는 신호의 리플의 양, 허용 할 수있는 것, 가장 중요한 것은 통과 대역에서 저지 대역으로의 전환 범위를 좁히십시오 (전환 폭).

선형 위상 필터를 원한다고 가정합니다 (최소 대기 시간을 지정하더라도, 나중에 신호로 무엇을할지 잘 모르는 경우 최소 위상 필터는 일반적으로 좋은 생각은 아닙니다) . 이 경우 필터 순서 (탭 수)는

N \approx \frac{2}{3} \log_{10} [\frac{1}{10 δ_{1} δ_{2}}] \frac{f_{s}}{Δ f}

$N\approx \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \delta_1\delta_2}\right]\,\frac{f_s}{\Delta f}$

와

\begin{aligned} f_{s} & the sampling rate \\ Δ f & the transition width, \\ ie. the difference between end of pass band and start of stop band \\ δ_{1} & the ripple in passband, \\ ie. "how much of the original amplitude can you afford to vary" \\ δ_{2} & the suppresion in the stop band . \end{aligned}

$\begin{align} f_s &\text{ the sampling rate}\\ \Delta f& \text{ the transition width,}\\ & \text{ ie. the difference between end of pass band and start of stop band}\\ \delta_1 &\text{ the ripple in passband,}\\ &\text{ ie. "how much of the original amplitude can you afford to vary"}\\ \delta_2 &\text{ the suppresion in the stop band}. \end{align}$

숫자를 꽂자! 차단 주파수 $\frac{f_s}{100}$ 이므로 전이 폭이 절반을 넘지 않는다고 주장하므로 $\Delta f=\frac{f_s}{200}$ …

SDR / RF 기술에서 나온 60dB의 억제는 일반적으로 충분합니다. 비용이 많이 들지 않는 하드웨어 는 입력에서 원하지 않는 신호를 유지하는 데 더 나을 것이 없으므로 CPU가 더 나은 환상적인 필터를 만드는 데 CPU를 낭비하지 마십시오. 하드웨어가 할 수있는 것보다 따라서, $\delta_2 = -60\text{ dB} = 10^{-3}$ .

통과 대역에서 진폭 변동이 0.1 % 인 상태로 살 수 있다고 가정 해 봅시다. 그것은 $\delta_1 = 10^{-4}$ 입니다.

그래서 이것을 연결 :

\begin{aligned} N_{Tommy's filter} & \approx \frac{2}{3} \log_{10} [\frac{1}{10 δ_{1} δ_{2}}] \frac{f_{s}}{Δ f} \\ = \frac{2}{3} \log_{10} [\frac{1}{10 \cdot 10^{- 4} \cdot 10^{- 3}}] \frac{f_{s}}{\frac{f_{s}}{200}} \\ = \frac{2}{3} \log_{10} [\frac{1}{10 \cdot 10^{- 7}}] 200 \\ = \frac{2}{3} \log_{10} [\frac{1}{10^{- 6}}] 200 \\ = \frac{2}{3} (\log_{10} 10^{6}) 200 \\ = \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot 200 \\ = 800 . \end{aligned}

$\begin{align} N_\text{Tommy's filter} &\approx \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \delta_1\delta_2}\right]\,\frac{f_s}{\Delta f}\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \cdot 10^{-4}\cdot10^{-3}}\right]\,\frac{f_s}{\frac{f_s}{200}}\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \cdot 10^{-7}}\right]\,200\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10^{-6}}\right]\,200\\ &= \frac 23 \left(\log_{10} 10^6\right) \,200\\ &= \frac 23 \cdot 6 \cdot 200\\ &= 800\text{ .} \end{align}$

따라서 200 탭으로 멀리 떨어져 있습니다. 필자가 생각한 것처럼 필터에 극도로 좁은 통과 대역을 사용하는 경우 .

이것이 문제가 될 필요 는 없습니다. 우선 800 탭 필터 는 무섭지 만 솔직히 첫눈에 반합니다.

이 답변에서 StackOverflow에서 테스트 한 것처럼 : 누군가의 CPU 최적화 FIR 구현을 사용하면 요즘 CPU가 빠릅니다 . 예를 들어, 필자는 위의 필터 사양 개요와 함께 GNU Radio의 FFT-FIR 구현을 사용했습니다. 초당 1 억 4,400 만 샘플의 성능을 얻었습니다. 충분하지 않을 수도 있습니다. 질문에 맞는 테스트 사례는 다음과 같습니다 (제작에 몇 초가 걸렸습니다).
$M$ $M$ $M=50$ $\frac{1200}{50}= 24$
지연 : 걱정하지 마십시오. 꼭 필요한 경우가 아니라면하지 마십시오. 일반적인 오디오 샘플링 속도로이 작업을 수행하고 있습니까? 기억해 $96\,\frac{\text{kS}}{\text{s}}\overset{\text{ridiculously}}{\ll}141\,\frac{\text{MS}}{\text{s}}$
$\frac1{100}$

— 마커스 ül 러
소스

3

Lake DSP는 1990 년대 중반에서 초반까지 256,000 개의 탭 FIR 필터를 실시간으로 수행하고있었습니다. 1200 탭? Phfffft! ;-)

— Peter K.

2

@PeterK. 그 정신이야! 256kT FIR에 대한 깊은 존중 – 그들이 설계 한 수치 정확도는 단순한 크기의 디자인만큼 놀랍습니다. 기술적으로 자신을 즐기기에는 너무 어리기 때문에 90 년대 초반은 흥미로운 시간이었습니다. 당시에는 DFT IC를 사용했던 엔지니어와 잠시 대화를 나; 다. 사람들이 컴퓨팅 플랫폼을 통해 DSP와 현명한 데이터 스트림을 실제로 처리 할 수 있었지만 오늘날과는 달리 "다목적"액셀러레이터가 없다는 것을 깨달았을 때 애플리케이션 별 DSP ASIC의 필요성이 높아진 것 같습니다.

— Marcus Müller

@ PeterK., 그렇습니다. 그러나 호주인들은 항상 우리의 다리를 당기고 있습니다.

— robert bristow-johnson 2012

@ robertbristow-johnson oy matey, 무슨 내부자 농담이 여기에서 진행되고 있습니까 : D?

— Marcus Müller

2

@ MarcusMüller는 ASIC의 인기가 높아졌지만 지금과 비교할 때 증가한 것처럼 보였지만 (ASIC 사양 / 디자이너였던 모든 사람들이 이제는 FPGA를 사용하기 때문에) 이른바 "다목적"DSP 가 있었다고 생각 합니다 90 년대 LakeDSP는 6 DSP56001로 만들어졌습니다.

— robert bristow-johnson

14

빠르고 실용적인 평가를 위해 프레드 해리스 (Fred harris)의 룰 오브 썸을 좋아합니다.

N_{t a p s} = \frac{A t t e n}{22 * B_{T}}

$N_{taps} = \frac{Atten}{22*B_T}$

어디에:

Atten은 dB 단위의 원하는 감쇠입니다.

$B_T$ $B_T=\frac{F_{stop}- F_{pass}}{F_s}$

$F_{stop}$ $F_{pass}$

$F_s$

이것은 0.1dB의 통과 대역 리플을 갖는 선형 위상 필터에 대해 얻을 수있는 것과 매우 가깝습니다. 필자는이 경험 법칙을 자주 사용하여 필요한 탭 수를 먼저 잘라낸 다음 필터 설계 프로세스에서 반복을 통해 수정합니다.

참고 사항 :이 규칙은 실제로 탭 수를 결정하는 요인에 대한 훌륭한 통찰력을 제공합니다 : 정지 밴드 감쇠 및 전이 대역의 가파름 (및 통과 대역 리플). 그러나 적어도 필터를 위해 설계해야했습니다 무선 통신 애플리케이션-감쇠 요구 사항이 리플보다 우세합니다. 따라서 Fs / 100에서 컷오프에 관한 질문은 정지 대역으로 얼마나 빨리 전환해야 하는지를 놓치고 있습니다.

$F_s$ $F_{pass}$ $F_{stop}$

$N_{taps} = \frac{60}{22*2/100}=137$

이러한 수치를 가지고 놀아도 데시 메이션 접근법을 사용하여 프로세싱 감소의 중요성을 입증 할 수 있습니다.

— 댄 보첸
소스

7

수락 된 답변에 몇 가지 추가 참조가 추가되었습니다. 나는 관여 할 수있는 공식을 쓰지 않을 것입니다. 이러한 수식은 주로 시작 규칙 또는 대략적인 규칙을 산출합니다. 실제 디자인을 위해이 숫자들을 둘러 볼 수 있습니다.

Bellanger 디자인의 원점 중 하나는 다음과 같습니다. 디지털 필터의 계산 복잡성, 1981, Proc. 유로 교수 회로 이론 설계, M. Bellanger. 얻는 것이 매우 어렵지만,이다 해 드리겠습니다 . 흥미롭게도, 계수 당 비트 수를 평가하는 공식도 지정하는데, 이는 유한 산술 구현에서 고려해야합니다. 프랑스어로 더 접근 가능한 버전은 다음과 같습니다 : Evaluation de la complexité des filtres numériques , 1982.

몇 가지 다른 공식들이 유한 임펄스 응답 필터 설계 , 디지털 신호 처리를위한 핸드북, 1993, T. Samamaki에서 수집됩니다.

보다 최근에는 최적의 FIR 디지털 필터를위한 최소 필터 길이의 정확한 추정치를 읽을 수 있습니다 ( 2000, K. Ichige et al.).

마지막으로, l-norm 최적화를 사용하여 최소 필터 차수를 갖는 FIR 필터의 효율적인 설계 보고서 는 차수가 점차 감소하는 설계를 주장합니다.

— 로랑 듀발
소스

4

minimize max (| H (ω) |) for all ω in the stopband

$\text{minimize} \ \text{max}\left(\left| H(\omega) \right|\right) \text{for all } \omega \text{ in the stopband}$

subject to \frac{1}{δ} \leq | H (ω) | \leq δ for all ω in the passband

$\text{subject to} \frac{1}{\delta} \leq \left| H(\omega) \right| \leq \delta \text{ for all } \omega \text{ in the passband}$

내가 생각할 수있는 주요 실제 문제는 최적화를 수행 할 때 사용되는 주파수 샘플의 수입니다. 주파수 간 샘플 동작으로 인해 원하지 않는 효과가 발생할 수 있습니다. 적합도는 탭 수에 따라 다릅니다. 최소 탭 수는 문제를 해결할 수 없을 때라고 말할 수 있습니다. 따라서 하나의 해결책은 타당성 문제를 해결하는 것입니다.

— 아르 핀
소스