압축 감지에서 신호 희소성에 대한 다른 특성이 있습니까?

압축 감지 (CS)에 대한 시작 가정은 기본 신호가 어떤 근거로 희박하다는 것입니다. 예를 들어, 스파 제 신호에 대해 최대 0이 아닌 푸리에 계수가 $s$있습니다. 실제 경험에 따르면 고려중인 신호가 종종 드물다는 것을 알 수 있습니다.

문제는-압축 샘플링 된 비트를 수신기로 보내기 전에 신호를 받고, 그녀의 능력을 최대한 발휘할 수 있도록하고, 희소성이 무엇인지, 그것이 압축에 적합한 후보인지를 알 수있는 방법이 있습니까? 처음에 감지?

또는 CS가 유용한 지 여부를 신속하게 알려주는 희소성에 대한 추가 / 대안적인 특성이 있습니까? 발신자가 무작위로 선택한 측정 세트로 수신자가 수행하는 작업을 정확하게 수행 할 수 있다는 것을 사소한 것으로 볼 수 있습니다. 그러나이 질문을 해결할 다른 방법이 있습니까?

내 의심은 이와 같은 것을 연구해야했지만 좋은 포인터를 찾을 수 없다는 것입니다.

참고 : 몇 주 전에 Mathoverflow 에이 질문을 게시했지만 아무런 대답도 얻지 못했습니다. 따라서 크로스 포스트.

실제로, 희소성 또는 정보 콘텐츠가 획득 장치에서 추정 될 수있는 방법이있다. 이를 수행하는 데 필요한 세부 사항, 실용성 및 실제 유용성은 논쟁의 여지가 있으며 적용되는 상황에 따라 크게 좌우됩니다. 이미징의 경우, 미리 정해진 기준으로 다소 압축 가능한 이미지의 영역을 결정할 수있다. 예를 들어, Yu et al의 "이미지 신호에 대한 지속성 기반 압축 샘플링"을 참조하십시오 . 이 경우, 획득 장치에 대한 추가 복잡성 요구 사항은 한계 이득을 제공합니다.

획득시 주어진 신호에 대한 압축 감지의 유용성에 대한 결정을 내리는 것에 대한 귀하의 질문과 관련하여, 해당 신호 가 선험적으로 알려진 모든 종류의 모델을 준수하는 경우 압축 감지가 가능합니다. 정확한 복구는 측정 된 수와 샘플링 된 신호가 모델에 얼마나 잘 맞는지에 따라 달라집니다. 잘못된 모델 인 경우 위상 전이를 지나치지 않습니다.. 좋은 모델이면 원래 신호의 정확한 재구성을 계산할 수 있습니다. 또한, 압축 감지 측정은 일반적으로 향후 입증됩니다. 현재 보유하고있는 모델을 사용하여 원래 신호를 정확하게 복구 할 수없는 신호에 대해 주어진 수의 측정 값이있는 경우, 이러한 측정이 정확한 복구에 충분한 내일 더 나은 모델을 고안하는 것이 여전히 가능합니다.

추가 사항 (편집) : 귀하의 질문에 언급 된 획득 방법은 적응 형 압축 감지와 매우 유사하게 들리므로이 질문을 읽는 독자에게는 다음과 같은 관심이있을 것으로 생각됩니다. Arias-Castro, Candes 및 Davenport의 최근 결과에 따르면 적응 형 측정 전략은 이론적으로 비 적응 (즉, 블라인드) 압축 감지에 비해 큰 이점을 제공 할 수 없습니다. 나는 독자들에게 그들의 ITIT에 곧 나타날 "적응 형 감지의 기본 한계" 에 대해 언급합니다.

하나의 실용적인 접근 방식은 사전 중 일부가 희소한지 파악하기 위해 사전을 선택하여 관심 신호를 확인하는 것입니다. 실제로 특정 수신기에서 신호가 희박한지 확인하기 위해 수신기가 수행하는 작업, 즉 신호를 압축 및 재구성 할 필요는 없습니다. 선형 변환을 적용하고 변환 된 벡터가 희소인지 확인할 수 있습니다. 그렇다면 역변환이 사전입니다. 드문 경우, 나는 벡터에서 0이 아닌 또는 무시할 수없는 계수의 수를 센다. 예를 들어, 신호의 DFT를 계산하십시오. 주파수 영역 표현이 희소 한 것으로 판명되면 (반대) 역 DFT를 사전으로 사용할 수 있습니다. 변환이 와이드 매트릭스와 같이 되돌릴 수없는 경우, 그다지 간단하지는 않지만 여전히 프레임으로 수행 할 수 있어야합니다.

희소성에 대한 대안과 관련하여, 엔도리스 는 "단순성"을 단순한 희소성 이상으로 일반화하려는 일부 시도를 언급합니다. 또한 다음이 있습니다.

1. 낮은 순위 : 압축 감지의 일종의 매트릭스 일반화 인 매트릭스 완성에 사용됩니다. 예를 들어 Candès 등의 볼록 최적화 및 최신 논문을 통한 정확한 매트릭스 완성을 참조하십시오 .
2. " k- 단순성": 벡터가 정확히 희박하지 않다; 대부분의 항목은 a 또는 b 이며 그 중 몇 개 ( k )가 사이에 있습니다. 예를 들어 Donoho & Tanner의 'Passse Undersampling Theorems' (예제 3)에 설명되어 있습니다.

$\|x\|_1^2/\|x\|_2^2$