공분산 vs 자기 상관

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이 개념들 사이에 직접적인 관계가 있는지 알아 내려고 노력 중입니다. 엄밀히 말하면, 그것들은 일반적으로 다른 개념으로 보입니다. 그러나 그것에 대해 더 많이 생각할수록 그것들이 매우 유사하다고 생각합니다.

를 WSS 랜덤 벡터라고 하자 . 공분산 는 로 여기서 는 벡터의 Hermitian)를 나타냅니다. $X,Y$ $C_{XY}$

씨_{엑스 와이} = 이자형 [(엑스 - μ_{엑스}) (와이 - μ_{와이})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$

H

$H$

를 WSS 랜덤 벡터라고 하자 . 자기 상관 함수 는 $Z$ $R_{XX}$

{아르 자형}_{지 지} (τ) = 이자형 [(지 (엔) - μ_{지}) {(지 (엔 + τ) - μ_{지})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

편집 참고 신호 처리에 적용되는이 정의에 대한 수정 사항이 있습니다. 아래의 Matt 's Answer를 참조하십시오.

공분산은 시간 개념을 포함하지 않으며, 랜덤 벡터의 각 요소가 임의의 랜덤 생성기의 다른 실현이라고 가정합니다. 자기 상관은 랜덤 벡터가 초기 랜덤 생성기의 시간 진화라고 가정합니다. 그러나 결국, 그들은 둘 다 동일한 수학적 실체, 일련의 숫자입니다. 당신이 할 경우 , 다음이 나타납니다 뭔가 내가 놓친 것을 더 미묘한인가? $X=Y=Z$

씨_{엑스 와이} = {아르 자형}_{지 지}

$C_{XY}=R_{ZZ}$

autocorrelation covariance proof

— rbell
소스

자기 상관의 정의 잘못 매트에 의해 지적 밖으로 같은 질문에 명시되어

R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

— ijuneja

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자기 상관의 정의에 따르면, 자기 상관은 단순히 두 개의 임의 변수 및 의 공분산입니다 . 이 기능을 자기 공분산 이라고도 합니다. $Z(n)$ $Z(n+\tau)$

또한 신호 처리에서 자기 상관은 일반적으로 다음과 같이 정의됩니다.

{아르 자형}_{엑스 엑스} (티_{1}, 티_{2}) = 이자형 {엑스 (티_{1}) {엑스}^{※} (티_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

즉, 평균을 빼지 않고. 자기 공분산은

씨_{엑스 엑스} (티_{1}, 티_{2}) = 이자형 {[엑스 (티_{1}) - μ_{엑스} (티_{1})] [{엑스}^{※} (티_{2}) - μ_{엑스}^{※} (티_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

이 두 기능은

씨_{엑스 엑스} (티_{1}, 티_{2}) = {아르 자형}_{엑스 엑스} (티_{1}, 티_{2}) - μ_{엑스} (티_{1}) μ_{엑스}^{※} (티_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— 맷 L.
소스

를 변수로 보면 , 자기 상관은 "시간 간격"의 함수가되어 데이터 세트에 대한 매우 흥미로운 정보를 얻을 수 있습니다. 자기 상관, 이산 푸리에 변환 및 비너-킨친 정리의 관계를 살펴보십시오.

τ

$\tau$

— PhilMacKay

@ PhilMacKay : 물론이지만 WSS 프로세스에서만 작동합니다. 프로세스가 반드시 고정적이지 않은 일반적인 경우에 대한 정의를 제공했습니다.

— Matt L.

그렇습니다. 비 정적 프로세스는 데이터 분석을 위해 성가 시게 될 수 있습니다. 이것이 제가 사랑하는 통계 도구를 사용하기 전에 항상 데이터의 추세를 바꾸려고하는 이유입니다! 항상 가능하지는 않지만 ...

— PhilMacKay

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Autocorrelation 정의에 숫자 와 의 두 시퀀스에서 오프셋을 지정 하는 추가 용어 어떻게 포함되는지 확인하십시오 . 실제로, 표기법은 가 정의 된 연속 함수 이고 는 스칼라 임을 제안합니다 . $\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

앞에서 언급했듯이 이면 의 특수한 경우 인 의미합니다 . $X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

내 개인적인 경험 (천체 물리학, 다양한 센서 처리)에서 공분산은 두 데이터 세트의 유사성을 확인하는 계수로 사용되었으며, 자기 상관은 상관 거리, 즉 데이터가 다른 데이터가되기 위해 얼마나 빨리 진화 하는가를 특성화하는 데 사용되었습니다. 전적으로.

— PhilMacKay
소스