3 차 스플라인 보간이 보간 다항식보다 나은 경우는 언제입니까?

다음 그림은 교과서의 예를 약간 변형 한 것입니다. 저자는 동일한 간격으로 배치 된 샘플에 대한 보간 다항식이 보간 간격의 끝 근처에서 큰 진동을 가짐을 설명하기 위해이 예제를 사용했습니다. 물론 입방 스플라인 보간은 전체 간격에 걸쳐 좋은 근사치를 제공합니다. 몇 년 동안, 여기에 설명 된 이유로 같은 간격의 샘플에 대한 고차 다항식 보간을 피해야한다고 생각했습니다.

그러나 최근에 고차 보간 다항식이 입방 스플라인 보간보다 근사 오차가 적은 대역 제한 신호의 많은 예를 발견했습니다. 일반적으로 보간 다항식은 샘플 속도가 충분히 높을 때 전체 보간 간격에 대해 더 정확합니다. 이것은 샘플이 신호의 나이키 스트 주파수보다 적어도 3 배 더 큰 샘플 속도로 동일한 간격으로있을 때 유지되는 것으로 보입니다. 또한, 큐빅 스플라인 보간에 대한 이점은 (샘플 속도) / (Nyquist frequency)가 증가함에 따라 개선됩니다.

예를 들어, 나이 퀴 스트 주파수가 2Hz이고 샘플 속도가 6.5Hz 인 사인파에 대해 3 차 스플라인 보간과 보간 다항식을 비교합니다. 샘플 포인트 사이에서 보간 다항식은 실제 신호와 정확히 동일하게 보입니다.

아래에서는 두 근사치의 오류를 비교합니다. 첫 번째 예에서와 같이 다항식 보간은 샘플 간격의 시작과 끝 근처에서 최악입니다. 그러나 보간 다항식은 전체 샘플 간격에서 3 차 스플라인보다 오류가 적습니다. 보간 다항식은 작은 간격으로 외삽 할 때도 오류가 적습니다. 잘 알려진 사실을 발견 했습니까? 그렇다면 어디서 읽을 수 있습니까?

논의되는 현상은 Runge 's 현상 이다.

의 최대 절대 값 $n$의 파생 상품 $\sin(\omega t)$ 이다 $\omega^n$. 대한 룽게의 기능 $\frac{1}{25t^2+1}$ 의 최대 절대 값 $n$th (짝수) 도함수는 $5^nn!,$ 어디 $n!$계승을 나타냅니다. 이것은 훨씬 빠른 성장입니다. 파생 상품이 증가하여 너무 빠르게 성장하는 경우에만$n$보간 순서가 증가함에 따라 보간 오차가 발산 될 수있다. 지수$n$아직 너무 빠르지 않습니다. James F. Epperson , The Runge 예제 , The American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, 329-341 쪽.

함수에 연속 도함수 만있는 경우, 경쟁 방식 인 부분 별 다항식 스플라인 보간은 소수의 초기 도함수가 관심 구간에 묶여 있으면 항상 수렴됩니다 ( 예 : 선형 보간에 대한 Wikipedia 기사 참조) .

두 방법이 수렴하면 (비 조각 별) 다항식 보간은 많은 샘플이 사용되는 경우 다항식도가 더 높으며 사인 예제에서 보듯이 더 나은 근사치를 제공 할 수 있습니다. 또한 LN Trefethen, 균등 한 점에서의 다항식 보간에 대한 두 가지 결과 , Journal of Approximation Theory 65, Issue 3, 1991 년 6 월, 페이지 247-260에 관심이있을 수 있습니다. 인용문:

복잡한 지수 함수의 대역 제한 보간에서 [...] $e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$ 오류는 $0$ 같이 $n \to \infty$ 만약에 $\alpha$ 파장 당 최소 6 개의 포인트를 제공 할만큼 작습니다.

파장 당 6.5 개의 샘플이 있습니다.