푸리에 변환 식별자

우리는 아래를 알고 있습니다.

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

이제 신호가 있다면

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

그렇다면 다음을 가정해도 안전합니까?

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

또는 신호 유형에 따라 달라 집니까?

당신이 올바른지. 마지막 방정식은 단순히$X(f)$ 실제 가치입니다.

일반적으로 한 도메인에서 실제 인 경우 다른 도메인에서 켤레 대칭입니다.

예, eqs 인 경우 (2)와 (3)은 "신호 유형"(그들이하는)을 유지 한 다음 (5) 보류해야합니다.

우리가 얻는 (2)에 (4)를 삽입

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ 그리고 (3)을 사용하여 $$X(-f) = X^*(-f)$$

우리가 대체하면 $f = - g$ 우리는 얻는다

$$X(g) = X^*(g)$$ 이는 같은 힐 마르 이미 관찰되었다 , 즉$X(f)$실제 가치입니다. 이는 (4)에 따르면$x(t)$켤레 복소수 대칭을 나타냅니다 .

@Deve와 @Hilmar의 답변은 기술적으로 완벽합니다. 몇 가지 질문으로 몇 가지 추가 통찰력을 제공하고 싶습니다.

먼저,이 역 시간 / 공액 아이덴티티를 만족시키는 신호에 대해 알고 있습니까 ?

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

가장 확실한 아이디어는 실제 신호와 대칭 신호 중에서 선택하는 것입니다. 푸리에 프레임 워크에서 자연스러운 것은 코사인 입니다.

이제 좀 더 복잡 해지자.

둘째, 진짜 사인은 어떻습니까? 반대 칭입니다. 그러나 당신이 그것을 기억한다면$i^*=-i$, 함수 $t\to i.\sin t$또한 해결책이됩니다. 따라서, 부가성에 의해

$$t\to e^{i t}$$

( 복소 지수 또는 시스 오이 드라고도 함 )도 해결책 입니다. 그리고 푸리에 변환 (일반화 된 함수로서)은 실제로는 (어쨌든 "무한"임에도 불구하고) 실제입니다. 더 나아가서, 실제 계수와 시스 오이 드의 선형 조합 은 그렇게 할 것입니다.

귀하의 질문은 푸리에 이중성이 얼마나 중요한지, 그것을 사용하여 일부 문제를 단순화하는 방법을 보여줍니다. 실제 신호용 DTFT의 SYMMETRY 에서 볼 수 있듯이 :

다른 말로하면, 신호가 $x(n)$ 실제는 스펙트럼이 Hermitian (``공액 대칭 '')입니다.

여기, 기본 신호 $x$은둔자이며 푸리에 버전은 실제입니다. 더 잘 이해하려면 상상 만하세요$t$ 주파수 변수이며 $f$시간이 이중입니다. 표준 표현은 지구 물리학 적 신호 및 파동 / 복잡한 대칭 특성의 디지털 분석에 제공됩니다 .

Heyser 코르크 마개 / 나선 이라고도합니다 .