음의 주파수의 물리적 의미는 무엇입니까?

이것은 체다 치즈 블록에서 DSP를 이해하는 구멍 중 하나였습니다. 음의 주파수를 갖는 물리적 해석은 무엇입니까?

어떤 주파수에서 물리적 인 톤이 있고 그것이 DFT 인 경우, 양의 주파수와 음의 주파수 모두에서 결과를 얻습니다. 왜 그리고 어떻게 발생합니까? 무슨 뜻인가요?

편집 : 2011 년 10 월 18 일. 나는 스스로 대답을 제공했지만 음수 주파수가 존재 해야하는 이유의 근본을 포함하도록 질문을 확장했습니다.

음수 주파수는 사인파에 대해서는 의미가 없지만 푸리에 변환은 신호를 사인파로 분해하지 않고 복잡한 지수 ( "복합 사인파"또는 " 시소 이드"라고도 함) 로 분해합니다 .

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \color{Red}{e^{- j\omega t}}\,dt$$

이들은 실제로 복잡한 평면에서 회전하는 나선형입니다.

( 출처 : Richard Lyons )

나선은 왼손잡이 또는 오른 손잡이 (시계 방향 또는 시계 반대 방향으로 회전) 일 수 있습니다. 또한 시간에 따라 앞뒤로 위상 각으로 생각할 수도 있습니다.

실수 신호의 경우 항상 반대 방향으로 회전하는 두 개의 동일한 진폭 복소 지수가 있으므로 실제 부분이 결합되고 허수 부분이 취소되어 결과로 실제 정현파 만 남습니다. 이것이 사인파의 스펙트럼이 항상 2 개의 스파이크, 하나의 양의 주파수와 하나의 음의 주파수를 갖는 이유입니다. 두 나선의 위상에 따라 순수한 사인파, 실제 코사인 파 또는 순수한 상상의 사인파 등을 남기고 취소 할 수 있습니다.

음의 주파수 성분과 양의 주파수 성분 은 모두 실제 신호를 생성하는 데 필요하지만, 실제 신호임을 ​​이미 알고 있다면 스펙트럼의 다른 쪽은 추가 정보를 제공하지 않으므로 종종 손을 흔들고 무시됩니다. 복잡한 신호의 일반적인 경우에는 주파수 스펙트럼의 양쪽을 모두 알아야합니다.

물레가 있다고 가정 해 봅시다. 얼마나 빠르게 회전하는지 설명 할 수 있습니까? 아마도 X분당 회전 수 (rpm)로 회전한다고 말할 것입니다 . 이제이 숫자 로 어떤 방향으로 회전하고 있는가? X시계 방향 또는 시계 반대 방향으로 회전하는 경우 동일한 rpm입니다. 그래서 머리를 긁고 잘 말하십시오. 여기에는 현명한 아이디어가 있습니다. 나는 +X그것이 시계 방향으로 회전하고 시계 -X반대 방향으로 회전한다는 것을 나타내는 규칙을 사용할 것 입니다. 짜잔! 음의 rpm을 발명했습니다!

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음수 빈도는 위의 간단한 예와 다르지 않습니다. 음의 주파수가 어떻게 나타나는지에 대한 간단한 수학적 설명은 순수한 톤 정현파의 푸리에 변환에서 볼 수 있습니다.

복잡한 정현파의 푸리에 변환 쌍을 고려하십시오 : (상수 승수 항 무시). 순수한 정현파 (진짜)의 경우, 오일러의 관계에서 비롯됩니다.$e^{\jmath \omega_0 t}\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0)$

$$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$$

따라서 푸리에 변환 쌍 (다시 말하면 상수 승수 무시) :

$$\cos(\omega_0 t)\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)$$

정의에 따라 양의 주파수 와 에 음의 가 있습니다. 의 복잡한 정현파는 수학 계산을 단순화하는 데 매우 유용하기 때문에 널리 사용됩니다. 그러나 하나의 주파수 만 있고 실제 정현파에는 실제로 두 개의 주파수가 있습니다.$\omega_0$$-\omega_0$$ae^{\jmath \omega_0 t}$

현재 제 관점 (변경 될 수 있음)은 다음과 같습니다.

정현파 반복의 경우 양의 주파수 만 의미가 있습니다. 물리적 해석이 명확합니다. 복잡한 지수 반복의 경우 양의 주파수와 음의 주파수가 모두 의미가 있습니다. 음의 주파수에 물리적 해석을 첨부 할 수 있습니다. 음의 주파수에 대한 물리적 해석은 반복의 방향과 관련이 있습니다.

위키에서 제공되는 빈도의 정의는 다음과 같습니다. "주파수는 단위 시간당 반복 이벤트 발생 횟수"

이 정의를 고수하면 음의 주파수가 의미가 없으므로 물리적 해석이 없습니다. 그러나이 빈도 정의는 방향을 가질 수있는 복잡한 지수 반복에 대해 철저하지 않습니다.

신호 또는 시스템 분석을 수행 할 때는 항상 음의 주파수가 사용됩니다. 이것의 근본적인 이유는 오일러 공식 이며 복잡한 지수가 LTI 시스템의 고유 함수라는 사실입니다.

$$e^{j\omega n} = \cos( \omega n) + j\, \sin(\omega n)$$

정현파 반복은 일반적으로 관심이 있으며 복잡한 지수 반복은 종종 정현파 반복을 간접적으로 얻기 위해 사용됩니다. 복잡한 지수를 사용하여 작성된 푸리에 표현을 고려하면 두 가지가 쉽게 연관되어 있음을 알 수 있습니다

$$x[n]= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!d\omega \;\;\;\;X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$$

그러나 이것은

$$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\;[a(\omega) \cos(\omega n) + b(\omega) \sin(\omega n)] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\; \alpha(\omega) \sin(\omega n + \phi(\omega))]$$

따라서 양의 '정현파 주파수 축'을 고려하는 대신 음의 양의 '복잡한 지수 주파수 축'이 고려됩니다. '복합 지수 주파수 축'에서 실제 신호의 경우 음의 주파수 부분이 중복되고 양의 '복합 지수 주파수 축'만 고려된다는 것이 잘 알려져 있습니다. 이 단계를 내재적으로 만들면 주파수 축이 정현파 반복이 아니라 복잡한 지수 반복을 나타냅니다.

복소 지수 반복은 복소 평면에서의 원형 회전입니다. 정현파 반복을 생성하기 위해서는 두 개의 복잡한 지수 반복, 즉 시계 방향 반복과 시계 반대 방향 반복이 필요합니다. 복잡한 평면에서 정현파 반복이 생성되는 방식, 즉 반대 방향으로 회전하는 두 개의 물리적 회전 장치에 의해 영감을 얻은 정현파 반복을 생성하는 물리적 장치가 구성된 경우 회전 장치 중 하나가 음수라고 할 수 있습니다 음수 주파수는 물리적 해석을합니다.

많은 일반적인 응용에서 음의 주파수는 직접적인 물리적 의미가 전혀 없습니다. 저항, 커패시터 및 인덕터가있는 일부 전기 회로에 입력 및 출력 전압이있는 경우를 고려하십시오. 하나의 주파수를 가진 실제 입력 전압이 있고 주파수는 같지만 진폭과 위상이 다른 단일 출력 전압이 있습니다.

이 시점에서 복잡한 신호, 복잡한 푸리에 변환 및 위상 수학을 고려해야하는 유일한 이유는 수학적으로 편리합니다. 당신은 완전히 실제 수학으로도 할 수 있습니다. 훨씬 더 어려울 것입니다.

다른 유형의 시간 / 주파수 변환이 있습니다. 푸리에 변환은 복소수 지수를 기본 함수로 사용하고 단일 실수 값 사인파에 적용되어 양수 및 음수 주파수로 해석되는 두 가지 값의 결과를 생성합니다. 음의 주파수를 전혀 생성하지 않는 다른 변환 (이산 코사인 변환과 같은)이 있습니다. 다시 말하지만, 그것은 수학적 편의의 문제입니다. 푸리에 변환은 종종 특정 문제를 해결하는 가장 빠르고 효율적인 방법입니다.

음수 빈도를 이해하려면 푸리에 변환 또는 계열을 연구해야합니다. 실제로 푸리에는 일부 정현파를 사용하여 모든 파도를 보여줄 수 있음을 보여주었습니다. 각 정현파는이 파동의 주파수에서 하나는 양의쪽에, 하나는 음의쪽에 2 개의 피크로 표시 될 수 있습니다. 이론적 인 이유는 분명합니다. 그러나 물리적 인 이유 때문에, 사람들은 항상 부정적인 주파수가 수학적인 의미를 갖는다 고 말합니다. 그러나 나는 확실하지 않은 물리적 해석을 추측한다. 파도에 대한 토론의 주체로서 원 운동을 연구 할 때, 반원에서의 이동 속도 방향은 다른 반쪽과 반대입니다. 이것이 각 사인파에 대해 주파수 영역의 양쪽에 두 개의 피크가있는 이유 일 수 있습니다.

음의 거리의 의미는 무엇입니까? 하나의 가능성은 연속성을위한 것이므로 적도를 걸을 때마다 행성 지구를 거꾸로 뒤집을 필요가 없으며 연속적인 1 차 도함수로 북쪽에 위치를 표시하려고합니다.

반송파 주파수보다 넓은 변조로 FM 변조와 같은 작업을 수행 할 수있는 경우 주파수와 동일합니다. 그걸 어떻게 줄래?

문제에 대해 쉽게 생각할 수있는 방법은 정상파를 이미징하는 것입니다. 정재파 (시간 도메인)는 2 개의 반대 방향으로 이동하는 진행파의 합으로 표시 될 수 있습니다 (양수 및 음수 k 벡터를 갖는 주파수 도메인 또는 등가 인 + w 및 -w). 다음은 FFT에 두 개의 주파수 성분이있는 이유에 대한 답변입니다. FFT는 기본적으로 시간 영역에서 함수를 나타내는 반대 방향으로 움직이는 많은 파도의 합입니다.

예전에는 정답을 두 배로 늘려야했던 정답을 얻기 위해 사용되었습니다. 그러나 마이너스 무한대에서 플러스 무한대까지 통합하면 임의의 배가없이 정답을 얻을 수 있습니다. 그래서 그들은 부정적인 주파수가 있어야한다고 말했다. 그러나 아무도 실제로 그들을 찾지 못했습니다. 그러므로 그것들은 상상적이거나 적어도 설명 할 수없는 물리적 인 관점에서 볼 수 있습니다.

이것은 매우 인기있는 주제로 밝혀졌습니다.

풍부하고 다양한 의견과 해석을 읽고 문제가 잠시 머릿속에 쏟아져 나간 후에 나는 부정적인 주파수 현상에 대한 물리적 해석이 있다고 생각합니다. 그리고 여기서 중요한 해석은 푸리에가 눈에 보이지 않는다는 것입니다. 더 확장 :

주파수의 '방향'과 그에 따라 + ve 또는 -ve가 될 수있는 방법에 대해 많은 이야기가있었습니다. 저자들은 이것이 잃어버린 것이 아니라는 통찰력을 가지고 있지만,이 진술은 시간적 빈도의 정의와 일치하지 않으므로 먼저 용어를 매우 신중하게 정의해야합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

• 거리는 스칼라 (+ ve 만 가능)이고 변위 는 벡터입니다. (즉, 방향이 있으며 제목을 설명하기 위해 + ve 또는 -ve 일 수 있음).

• 속도 는 스칼라 (+ ve 만 가능) 인 반면 속도 는 벡터입니다. (즉, 방향이 있으며 + ve 또는 -ve 일 수 있음).

따라서 동일한 토큰으로

• 시간 빈도 는 스칼라입니다 (+ ve 만 가능)! 주파수는 단위 시간당 사이클 수로 정의됩니다. 이것이 받아 들여진 정의라면, 단순히 다른 방향으로 가고 있다고 주장 할 수는 없습니다 . 스칼라입니다. 대신 주파수와 동등한 벡터라는 새로운 용어를 정의해야합니다. 아마도 여기에서 '각 주파수'가 올바른 용어 일 것이며, 실제로 디지털 주파수가 측정하는 것입니다.

이제 갑작스럽게 우리는 단위 시간당 회전 수 (방향을 가질 수있는 벡터 양), VS 일부 물리적 진동의 회귀 수를 측정하는 사업을 하고 있습니다.

우리가 음의 주파수의 물리적 해석에 대해 물어 때 따라서, 우리는 또한 암시에 대해 묻는 방법 스칼라와 해변에 파도 같은 몇 가지 물리적 현상의 단위 시간당 진동 수의 진짜 측정, 와이어를 통해 정현파 AC 전류, 이 각 주파수에 매핑 하여 이제 갑자기 모든 방향이 시계 방향 또는 시계 반대 방향으로 나타납니다.

여기에서 음의 주파수에 대한 물리적 해석에 도달하려면 두 가지 사실에주의해야합니다. 첫 번째는 푸리에가 지적한 것처럼 스칼라 시간 주파수 f를 갖는 진동 실제 톤 은 벡터 각 주파수 + w 및 -w 와 함께 두 개의 진동 복합 톤을 추가하여 구성 할 수 있다는 것입니다.

$$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$$

훌륭하지만 무엇을해야합니까? 복잡한 톤은 서로 반대 방향으로 회전하고 있습니다. (세바스찬의 의견 참조). 그러나 각 주파수에 벡터 상태를 제공하는 '방향'의 중요성은 무엇입니까? 회전 방향에 어떤 물리량이 반영됩니까? 대답은 시간입니다. 첫 번째 복합 톤에서는 시간이 + ve 방향으로 이동하고 두 번째 복합 톤에서는 시간이 -ve 방향으로 이동합니다. 시간이 거꾸로 가고 있습니다.

이것을 명심하고 시간 주파수가 시간과 관련하여 첫 번째 단계의 파생물이라는 것을 기억하기 위해 빠른 전환을 취하면 (시간이 지남에 따라 단순히 위상 변화) 모든 것이 제자리에 시작됩니다.

음의 주파수의 물리적 해석은 다음과 같습니다.

첫 번째 실현은 푸리에가 시간에 구애받지 않는다는 것 입니다. 즉, 당신이 그것에 대해 생각한다면, 푸리에 분석이나 시간 자체가 시간의 방향을 알려줄 수있는 변환 자체에는 아무것도 없습니다. 이제 스칼라 시간 주파수 f 에서 진동하는 물리적으로 진동하는 시스템 (즉, 와이어를 통한 전류)을 상상해보십시오 .

진행되는 시간의 방향으로이 물결을 내려다보고 있다고 상상해보십시오. 이제 진행할 때마다 위상차를 계산한다고 상상해보십시오. 이것은 당신에게 스칼라 시간적 빈도를 줄 것이고, 당신의 주파수는 양수입니다. 여태까지는 그런대로 잘됐다.

그러나 푸리에가 눈이 멀다면 왜 '앞으로'시간 방향으로 당신의 파동을 고려해야 하는가? 그 방향에는 특별한 것이 없습니다. 따라서 대칭 적으로 다른 시간 방향도 고려해야합니다. 따라서 이제는 같은 파도에서 (즉, 시간이 거꾸로 ) 똑같은 델타 위상 계산을 수행 한다고 상상해보십시오 . 시간이 지금 뒤로 가고 주파수가 위상 변화 / (음수 시간)이므로 주파수는 음수가됩니다!

푸리에가 실제로 말하고있는 것은이 신호가 주파수 빈 f 에서 정시 재생되는 경우 에너지를 가지지 만, 주파수 빈 -f에서 시간이 거꾸로 재생되면 ALSO도 에너지를 갖는다는 것 입니다. 푸리에에는 '진정한'시간 방향이 무엇인지 '알고'있는 방법이 없기 때문에 어떤 의미에서 이것을 말해야합니다!

푸리에는 어떻게 이것을 포착합니까? 그럼, 순서대로 보여 방향 의 시간을, 어떤 종류의 회전은 해야합니다시계 방향의 회전은 시간의 전방 화살표에서 신호를 '보고'처리하고, 시계 반대 방향의 회전은 시간이 거꾸로 진행되는 것처럼 신호를 '보고'처리합니다. 우리 모두에게 친숙한 스칼라 시간 주파수는 이제 벡터 각 주파수의 (스케일 된) 절대 값과 같아야합니다. 그러나 정현파의 변위를 나타내는 점이 한 사이클 후에 시작점에 도달하면서 동시에 원을 중심으로 회전하고 그것이 의미하는 시간적 주파수의 표시를 유지할 수있는 방법은 무엇입니까? 해당 원의 장축이 원래 정현파에 대한이 점의 변위를 측정하고 정현파가 90도만큼 떨어져있는 경우에만 구성됩니다. (이것은 푸리에가 DFT를 수행 할 때마다 자신의 사인과 코사인을 기반으로하는 방법입니다!). 마지막으로 축을 어떻게 분리합니까? 'j'는 각 축의 크기가 항상 다른 축의 크기와 무관하다는 것을 보장합니다. 실수와 허수를 추가하여 두 도메인에서 새 숫자를 생성 할 수 없기 때문입니다. (그러나 이것은 부수적 인 참고 사항입니다).

따라서 요약하면 다음과 같습니다.

푸리에 변환은 시간에 구애받지 않습니다. 시간의 방향을 알 수 없습니다. 이것은 음의 주파수의 핵심입니다. 주파수 = 위상 변화 / 시간이므로 신호의 DFT를 취할 때마다 푸리에는 시간이 지날수록 에너지가 + ve 주파수 축에 있지만 시간이 거꾸로 갈 경우 에너지는 -ve 주파수 축에 있습니다.

우리의 우주가 전에 보여 주었 듯이 , 푸리에는 시간의 방향을 알지 못하기 때문에, DFT의 양면 이 대칭 이어야 하고, 왜 음의 주파수가 존재해야하고 실제로는 실제로는 매우 사실입니다.