희소성의 정확한 척도는 무엇입니까?

현재 압축 감지 및 신호, 특히 이미지의 드문 표현을 위해 노력하고 있습니다.

"희소성 정의 란 무엇입니까?"라는 질문을 자주받습니다. "푸리에 나 웨이블릿과 같은 일부 영역에서 신호의 대부분의 요소가 0이거나 0에 가까우면이 신호는 그 근거가 희박합니다." 그러나이 정의에는 항상 문제가 있습니다. "대부분의 요소는 무엇을 의미합니까? 90 %입니까? 80 %입니까? 92.86 % ?!" 여기에 내 질문이 생겼습니다. 희소성에 대한 정확한, 즉 수치 적 정의가 있습니까?

" 희소성에 대한 정확한, 즉 수치 적 정의가 있습니까? "그리고 수치 적으로 , 나는 계산 가능 하고 실질적으로 "사용 가능" 하다는 것을 이해합니다 . 필자는 적어도 아직 합의가 없지만 합당한 경쟁자가 몇 가지있다. 첫 번째 옵션 인 " 0이 아닌 항만 계산 "은 정확하지만 비효율적입니다 (숫자 근사 및 잡음에 민감하고 최적화하기가 매우 복잡함). 두 번째 옵션 인 " 신호의 대부분의 요소가 0이거나 0에 가깝습니다 "는 "most"와 "close to"에 대해 다소 부정확합니다.

따라서 " 정확한 희소성 척도 "는 공식적인 측면이 없어도 애매하게 남아 있습니다. 2009 년 Hurley and Rickard, 희소성 측정 비교 , 정보 이론에 관한 IEEE 거래에서 희소성을 정의하려는 최근 시도 중 하나 .

그들의 아이디어는 좋은 희소성 측정 이 성취해야 할 일련의 공리를 제공하는 것이다 . 예를 들어 신호$x$ 0이 아닌 상수를 곱한 값 $\alpha x$동일한 희소성을 가져야합니다. 다른 말로, 희소성 측정은$0$-동종의. 재밌게$\ell_1$ 압축 감지 또는 올가미 회귀 분석에서 프록시 $1$-동종의. 이것은 실제로 모든 규범 또는 준 규범에 대한 경우입니다$\ell_p$(비강도) 카운트 측정 경향이 있어도 $\ell_0$ 같이 $p\to 0$.

그래서 그들은 자산 분석에서 빌린 6 가지 공리를 계산하고 계산을 수행했습니다.

• 로빈 후드 (부자에게서 가져와 가난한 사람들에게 희소성을 줄임),
• 스케일링 (일정한 곱셈은 희소성을 유지),
• 상승 조수 (0이 아닌 계정을 추가하면 희소성이 감소 함)
• 복제 (데이터 복제시 희소성이 유지됨)
• 빌 게이츠 (한 사람이 부자가 될수록 희소성이 증가 함)
• 아기 (값이 0을 추가하면 희소성이 증가 함)

그리고 Gini 지수와 일부 규범 또는 준 규범 비율이 좋은 후보가 될 수 있음을 밝혀내는 알려진 조치를 조사하십시오 (후자의 경우 일부 세부 사항은 Euclid의 Taxicab에서 제공됩니다 : Sparse Blind Deconvolution with Smoothed)$\ell_1/\ell_2$정규화 , 2005, IEEE 신호 처리 문자). 나는이 초기 작업이 더 발전되어야한다는 것을 느낍니다.$p$ 위에 $q$ $\ell_p/\ell_q$준 규범 / 노름 비율 ). 신호 때문에$x$, $0< p\le q$표준 비 불평등은 다음과 같습니다.

그리고 경향이 $1$ (왼쪽, LHS) $x$그렇지 않으면 오른쪽에 RHS (드문 드문)합니다. 이 작업은 이제 사전 인쇄입니다. SPOQ : 질량 분석에 적용된 희소 신호 복구를위한 부드러운 p-Over-q 정규화 . 그러나, 희소성 측정은 변환 된 데이터가 목적에 따라 충분히 희박한지 여부를 나타내지 않습니다.

마지막으로, 압축 감지에 사용되는 또 다른 개념은 재정렬 된 (내림차순) 계수 크기 인 신호의 압축성입니다. $c_{(k)}$ 권력 법을 따르다 $C_\alpha .(k)^{-\alpha}$, 그리고 더 큰 $\alpha$쇠퇴가 날카 로워집니다.