푸리에 변환을위한 관습과 표기법의 선택?

내가 대학에서 배운 푸리에 변환과 역 푸리에 변환의 정의는

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

이 협약의 두드러진 특징은

비단 일 변환; 주파수 영역 단위는 라디안입니다 (변수는 ) $\omega$
"시간 영역"단위는 시간입니다 (변수는 ) $t$
함수 변환은 대문자로 표시됩니다 ( vs. ) $F$ $f$
의 엄격 함수임을 푸리에 변환을 나타내고 $j$ $F(j\omega)$
물론 일반적인 EE 규칙은 입니다. $j=\sqrt{-1}$

요즘에는 위키 백과에 사용 된 것과는 매우 다른 규칙을 사용 합니다 .

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$ 이 규칙의 특징은 다음과 같습니다.

단일 변환; 주파수 영역 단위는 정규화 된 주파수입니다 (변수는 ). $\xi$
"시간 영역"단위는 단위가 없습니다 (변수는 ) $x$
함수는웨어 모자를 변환합니다 ( 대 ) $\hat{f}$ $f$
그리스어 알파벳의 변수는 라틴 알파벳의 변환 된 변수를 나타냅니다 ( vs. ) $\xi$ $x$

여러 가지 이유로이 규칙을 매우 선호합니다.

단일 규칙을 사용하면 푸리에 듀얼의 대칭과 선명도가 크게 향상됩니다.
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$ ,
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$ 를
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$ ,
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$ .
"시간 영역"변수 에 대신 를 사용 하면 방정식이 문제 영역을 더 무시할 수 있습니다. 따라서 를 거리를 나타내는 변수로 사용 하거나 한 도메인에서 다른 도메인으로 이동할 때 주변 변수를 변경 하지 않아도되는인지 적 불협화음없이 1D 신호 처리 개념의 관점에서 2D 이미지 처리 개념을 훨씬 더 쉽게 아날로그화할 수 있습니다. $x$ $t$ $t$
대문자가 변환 된 함수를 나타내는 것보다 이산 값 변수 / 함수를 나타내는 데 더 유용하다는 것을 알았습니다.
더 명확 모자를 사용하여 푸리에 변환이 AS 나타내며 연산자 되는 적용 에 생성 기능이 주파수 - 도메인 파라미터 받아 . 훨씬 더 볼품이 비교 , 내가 푸리에 너무 시간에 나에게 혼란 방법을 보였다 연산자로 변환 나타 내기 위해 대학에서 배운 "전통적인"방식 ( vs vs 등) $f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
나는 일반적으로 라디안으로 신호 처리 분석을 수행하는 것이 필요하다고 느낀 것보다 훨씬 더 많은 뿌렸다는 것을 알았습니다. 정규화 된 주파수의 단위를 사용하면 수 많은 샘플링 이론과 관련된 문제를 통해 작업 특히, 나에게 더 의미. $\pi$

물론, 내가 선택한 대회 가 다른 사람들이 사용하는 대회 보다 우월 하다고 생각하는 것은 헛된 일입니다 . 그러나 나는 원래 대학에서 배운 관습을 선호하는 좋은 이유 (즉 전통을 포함하지 않는 이유)를 생각해 냈습니다.

현재는 "전통적인"관습을 선호하는 적절한 이유 중 하나를 생각할 수 있습니다. 비단 일 변환과 매개 변수 표기법을 사용하면 Laplace 변환 과의 개념 일관성이 크게 향상됩니다 . 또한 모자는 대문자보다 잃어 버릴 수 있습니다. $F(j\omega)$

"전통적인"(단일이 아닌) 협약을 선호하는 다른 이유를 생각할 수있는 사람이 있습니까? 이 "전통적인"컨벤션은 신호 처리 과정을 습득 한 것과 동일합니까? 어떤 컨벤션 을 선호하십니까?

fourier-transform frequency

— rtollert
소스

개인적인 의견을 구하는 질문 은이 사이트에 실제로 건설적인 것은 아닙니다. 정답은 규칙을 정확하게 정의하고 일관되고 많은 경우에 사용 하는 것이 일반적으로 사용되는 표기법을 고수하는 한, 실제로는 컨벤션이 중요하지 않다는 것입니다. 중요한 것은 미친 새로운 표기법을 의도적으로 둔화시키지 않는 것입니다. 개인 취향과 의견이이 점에서 어떻게 유용한 지 잘 모르겠습니다 ...

— Lorem Ipsum

나는 단순한 견해를 피하려는 욕망을 이해할 수 있지만, 전통적인 관습이 왜 그런지에 관한 합법적 인 질문이 있다고 생각합니다 . 그것은 단지 역사적 사고 로만 정의되지는 않을 것입니다 . 의견을 구하지 않기 위해이 질문을 다시 작성하고 신호 처리 문헌에서 이러한 관습 / 표기 결정이 어떻게 시작되었는지에 초점을 맞추고 자합니다.

— rtollert

모든 2π를 τ 로 바꾸는 것을 잊었습니다 . : D

— endolith

@endolith 당신은 그것을 이길 :)

— datageist

단일 형식이 자주 사용되는 곳은 커뮤니케이션 교과서입니다. Hertz와 같은 통신 엔지니어는 로의 변환 이 보다 직관적 입니다.

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

— Jason R

컨벤션 선택은 커뮤니케이션하려는 청중에게 가장 적절하거나 친숙해야합니다.

— hotpaw2
소스

신호에 x (t)를 사용하는 것에 대한 한 가지는

$y = x^2$

과

$y(t) = x(t)^2$

여기서 x는 여전히 입력이고 y는 여전히 출력입니다.이 경우에는 숫자 대신 신호입니다.

— 내배엽
소스