"푸리에 변환은 동일한 주파수에서 두 위상을 측정 할 수 없습니다."왜 그렇지 않습니까?

15

푸리에 변환은 동일한 주파수이지만 다른 위상을 가진 컴포넌트를 구별 할 수 없다는 것을 읽었습니다. 예를 들어 Mathoverflow 또는 xrayphysics 에서 "푸리에 변환은 동일한 주파수에서 두 단계를 측정 할 수 없습니다."라는 질문의 제목을 얻었습니다.

수학적으로 왜 이것이 사실입니까?

fourier-transform fourier

— 수학이 기절
소스

5

와 같은 구성 요소 를 구별 할 수 있습니까 ? 당신은 할 수 없습니다 내기.

\sin (x) + \sin (x + c)

$\sin(x) + \sin(x+c)$

— Ilmari Karonen '

FT는 주어진 신호를 재구성하기 위해 함께 추가 될 수 있는 컴포넌트를 찾습니다 . 그렇다고해서 그 구성 요소가 실제로 원본에 존재했다는 의미는 아닙니다. 주어진 신호가 "구축"될 수있는 방법은 무한하지만, 신호에는 하나의 고유 한 FT 만 있습니다.

— 솔로몬 느린

30

동일한 주파수와 다른 위상을 가진 두 개의 정현파 신호의 동시 존재는 실제로 동일한 주파수에서 단일 정현파와 동일하지만 다음과 같이 새로운 위상 과 진폭 을 갖기 때문입니다 .

두 정현파 성분을 다음과 같이 요약하자.

x (t) = a \cos (ω_{0} t + ϕ) + b \cos (ω_{0} t + θ)

$x(t) = a \cos(\omega_0 t + \phi) + b \cos(\omega_0 t + \theta)$

그런 다음 삼각법 조작을 통해 다음을 알 수 있습니다.

x (t) = A \cos (ω_{0} t + Φ)

$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi)$

여기서 및

A = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos (θ - ϕ)}

$A = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2 a b \cos(\theta-\phi) }$

Φ = \tan^{- 1} (\frac{a \sin (ϕ) + b \sin (θ)}{a \cos (ϕ) + b \cos (θ)})

$\Phi = \tan^{-1}(\frac{ a \sin(\phi) + b\sin(\theta) } { a \cos(\phi) + b\cos(\theta) } )$

따라서 실제로 단일 사인파 (새로운 위상 및 진폭)를 가지므로 실제로 구별 할 수있는 것은 없습니다 ...

— 지방 32
소스

1

내가 삼각법을 따르기 때문에 내 뇌는 폐쇄 상태에 있어야하지만 여전히 혼란스러워하고있다. 다시 말해, 하나가 다른 것보다 "나중에"시작하지만 추가되지 않은 두 개의 신호로 생각한다면 그것들을 구별 할 수 있습니까? 한 주파수에서 두 개의 데이터 포인트를 가질 수 없기 때문에 추가해야합니까? 감사.

— 마크 리즈

2

@ markleeds, OP는 윈도우 푸리에 변환을 언급한다고 말하지 않았으며 주어진 링크는 일반 비 윈도우 버전을 명확하게 나타냅니다. 푸리에 분석의 정규 버전에서, 신호는 위상이 다른 정현파의 가중 합으로 구성된 것으로 가정합니다. 분석은 이러한 가중치와 단계를 얻는 것으로 구성됩니다. 그것들의 수집은 스펙트럼입니다. 2 개의 정현파를 연결하면이 전역 푸리에 분석에서 위상을 구별 할 수 없습니다. 그러나 윈도우 푸리에 변환은 그러한 작업을 위해 설계되었습니다.

— Stefan Karlsson '

1

내 의견에서 알 수 있듯이, 윈도우 푸리에 변환에 대한 언급을 추가하는 것이 유익 할 수 있습니다. @ Fat32에 시간이 있다면, 그는 다른 주파수의 2 개의 정현파를 연결하는 것과 관련된 불연속성을 언급 할 수 있으며, 왜 우리가 그것을 분석하려고 할 때 전역 푸리에 변환에 무작위로 보이는 임의의 주파수가 추가되는지 알아볼 수 있습니다.

— Stefan Karlsson

2

안녕 @ markleeds, StefanKarlsson이 이미 지적했듯이, 문제는 같은 주파수의 두 정현파의 중첩 (동시 가산 존재)에 관한 문제였습니다 . 단계 는 상대적인 용어이며 절대적인 것이 아니라는 점에 유의하십시오 . 즉, 선택된 공통 (시간) 원점을 기준으로 측정되며, 이상입니다. 연결 (위상 편이 변조에 등) 창 차별을 할 수 있습니다하지만 당신은 여전히 어쨌든 위상 차이를 알려줄 수있는 공통 시간 원본을 참조해야합니다. 이것이 PSK 수신기가 엄격한 펄스 시간 동기화를 요구하는 이유입니다. ;-)

t = 0

$t=0$

— Fat32

1

@smsc는 스스로 반복하는 것처럼 느껴지지만 두 케이블의 출력을 추가 한 다음 FT를 통해 분석하면 복합 위상 및 증폭과 함께 단일 사인파가 표시됩니다. 그러나 추가하지 않고 별도로 분석하면 그런 다음 상대 단계를 말할 수 있습니다 ... 그리고 이것은 DFT와 관련이 없습니다.

— Fat32

1

" 위에서 설명한 푸리에 변환 의 단순화 된 버전은 위상 변이를 설명 할 수 없습니다. 실제로 푸리에 변환은 어떻게합니까?" 약간 더 나은 설명을 보게 될 것입니다. 그들은 죄와 코사인을 사용합니다.

" 위상 편이의 수학 (선택 사항) .

위상 편이가 편이되지 않은 사인과 코사인으로 분류되는 방법을 보려면 sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( 비).

A * sin (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

보시다시피, 위상 편이는 사인 신호의 일부 진폭 (에너지)을 코사인 신호로 이동하지만 주파수는 변하지 않습니다. 푸리에 변환 의 복소수 표현 을 사용 하는 경우 , 위상 변이는 단순히 크기가 변경되지 않은 복소 평면의 값 회전을 나타냅니다. 위상 변이가 진폭을 사인에서 코사인으로 만 이동한다는 사실은 동일한 주파수와 다른 위상을 가진 두 개의 신호를 추가하면 해당 주파수에서 전체 (평균) 위상 변이를 갖는 신호를 제공하며 구성 요소의 메모리는 없다는 의미입니다. "

실제로는 더 복잡합니다. " 부분 푸리에 기법 ", " 위상 공액 대칭 "및 " FOV 및 k- 공간 "을 참조하십시오. " 단계 인코딩 소개-I "에서 다음과 같이 설명합니다.

"... 동일한 주파수이지만 위상이 다른 두 개의 사인파 (A 및 B)가 함께 추가되면 결과는 같지만 위상이 다른 또 다른 사인파가됩니다. 사인파가 위상이 서로 가까우면 건설적으로 간섭하고, 위상이 맞지 않으면 파괴적으로 간섭합니다.

... 합계 만 보면 단순히 특정 주파수와 위상의 사인파를 볼 수 있습니다. 이 단일 관측에서 파동 A와 B의 개별 기여를 분류하는 것은 불가능합니다 .

그러나 A와 B를 서로 다른 단계로 이동하여 두 번의 관측을 수행하면 합계 만보고 개별 기여도를 결정할 수 있습니다. 이는 MR 이미지에서 아래에 설명되어 있습니다. 여기서 A와 B는 동일한 인코딩 된 주파수 (ω)에서 공진하는 동일한 세로 열의 두 픽셀입니다. 구체적으로, 단계 0에서 (위상 인코딩 구배가 적용되지 않은 기준선), A & B로부터의 총 신호가 함께 기록 될 수있다 : So (t) = A sin ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

...

1 단계의이 단일 측정에서 우리는 여전히 개별 진폭 A와 B를 알지 못하며 그 차이 (A-B) 만 알 수 있습니다. 단계 0과 단계 1의 정보를 함께 사용하여 간단한 대수로 고유 한 신호 기여도를 추출 할 수 있습니다.

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A-B)] = A 및 ½ [So-S1] = ½ [(A + B)-(A-B)] = B

".

그렇지 않으면 다음과 같이 보일 것입니다 (이미지 A).

PFI는 (A) 기본 알고리즘, (B) BAX 알고리즘, (C) 제로 채우기 알고리즘, (D) 이전에 일정한 선형 SDPS 보정이있는 데이터를 사용하는 기본 알고리즘을 통해 상위 SDPS의 아티팩트를 보여줍니다.

— 롭
소스

1

$c\cos(\omega t+\phi)$ $Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$ $Re$ $c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$ $ae^{\omega t i}$ $Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$ $c e^{\phi i}$ $c$ $\phi$

따라서 두 신호 모두 출력 크기에 영향을 주지만 추가 신호는 위상 공간에서 출력 위치에 영향을 미치지 않습니다.

— 축적
소스

1

나는 원의 합을 사용하여 질문의 기하학적 버전의 길을 가고 싶습니다.

사인과 코사인이 "그냥"cisoids, 복잡한 지수 함수의 실수 부와 허수 부분 (일부 참조가에서 찾을 수 있습니다 나는 직관적으로 복잡한 지수를 설명 할 수 있는가? , 분석적인 신호 3D 흔들기 플롯 : Heyser은 코르크 / 나선형 , 푸리에 변환 신원 ).

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$ $\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\omega$

a_{1} s_{ω, ϕ_{1}} (t) + a_{2} s_{ω, ϕ_{2}} (t) ?

$a_1 s_{\omega,\phi_1}(t) +a_2 s_{\omega,\phi_2}(t)\,?$

$a_1$ $a_2$ $e^{2 \pi i\phi_1}$ $e^{2 \pi i\phi_2}$

s_{ω, 0} (t) + a s_{ω, ϕ} (t),

$s_{\omega,0}(t) +a s_{\omega,\phi}(t)\,,$

$|a|<1$

\begin{matrix} (1) & e^{2 π i (ω t)} + a e^{2 π i (ω t + ϕ)} \end{matrix}

$e^{2\pi i (\omega t)}+ae^{2\pi i (\omega t+\phi)}\label{a}\tag{1}$

따라서

\begin{matrix} (2) & (1 + a e^{2 π i ϕ}) e^{2 π i (ω t)}, \end{matrix}

$(1+ae^{2\pi i\phi})e^{2\pi i (\omega t)}\,,\label{b}\tag{2}$

$(1+ae^{2\pi i\phi})$ $\alpha e^{2\pi i\varphi}$ $a$ -반지름 원은 밸브에 부착 된 작은 물레와 같습니다 (위 그림의 파란색과 빨간색 원만). 이제 우리는 작은 바퀴의 둘레에 점의 움직임을 봅니다.

$1$ $a$ $\alpha$ $\ref{a}$ $\ref{b}$

다시 말해 푸리에 변환이나 사람의 눈은 같은 주파수이지만 위상이 다른 성분을 구별 할 수 없습니다 .

[[시간을 찾으면 애니메이션을 추가하겠습니다]]

— 로랑 듀발
소스