자기 상관이 왜 0에서 최고점에 도달합니까?

11

자기 상관 함수의 제로 시프트가 에너지와 같다는 것을 알고 있지만, 왜 피크가 제로인지 이해하고 싶습니다.

autocorrelation

— 이타 마브
소스

여기 좋은 설명이 있습니다. personal.maths.surrey.ac.uk/st/J.Deane/Teach/eee2035/…

— ampholyte

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공식적인 증거 또는 이것의 직관을 찾고 있습니까? 후자의 경우 : "아무것도 그 기능보다 더 유사 할 수는 없습니다". 지연 에서의 자기 상관은 함수 와 의해 시프트 된 동일한 함수 사이의 유사성을 측정한다 . 참고 경우 것을 주기적이며, 임의의 정수배만큼 쉬프트 및 일치하고, 자기 상관이 빗살 모양 갖도록 - 중앙 피크와 동일한 높이와주기의 정수배에서 피크를. $\tau$ $f$ $\tau$ $f$ $f$ $\tau$ $f$

— 피케 네트
소스

2

@JasonR 유한 에너지 신호 (제로 래그에서 자기 상관 함수는 에너지라고 말했기 때문에 OP가 요구하는 것임)는 주기적 일 수 없으므로이 답변 의 후반은 OP의 질문에 적용 할 수 없습니다. 그러나 주기적 신호에 대해 정의 하는 주기적 자기 상관 함수 에는 적용됩니다 . 에 내 대답은 , I (자),이 2 개의 경우를 구별하기 위해 노력하고, 또한주기적인 신호의 자기 상관 함수는주기적인 피크 깊은 같은 정기적 인 계곡을 가질 수 있다고 지적했다.

— Dilip Sarwate

@Dilip : 항상 그렇듯이 좋은 점.

— Jason R

그것은 증거가 아니며 증거에 가깝지 않습니다. 답을 알고 있기 때문에 작동하는 단어 만.

— John Smith

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비 주기적 이산 시간 유한 에너지 신호의 자기 상관 함수는 각각 실제 신호와 복소 신호. 설명을 쉽게하기 위해 실제 신호로 자신을 제한하고 summand 고려해 봅시다 . 고정 지연 및 주어진 , 일반적으로 양수 또는 음수 값을 가질 것이다. 특정 지연 에 대해 이 모든 대해 음이 아닌 경우 , 합계의 모든 항이 합산 (취소 없음)되므로

R_{x} [n] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m - n] or R_{x} [m] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] (x [m - n])^{*}

$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$

n

$n$

m

$m$

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$

n

$n$

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$

m

$m$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

긍정적 인 가치를 보장합니다. 실제로, 모든 피크가 피크와 일직선이 되고 의 골짜기가 의 골짜기와 일직선이되면 합이 가장 커 집니다. 예를 들어, 가 오버 샘플링 된 sinc 함수 인 경우 피크는 및 valley는 다음 가질 것이다 최대치를 에서 (동일한 토큰에 의해 것

x [m - n]

$x[m-n]$

x [m]

$x[m]$

x [m - n]

$x[m-n]$

x [m]

$x[m]$

x

$x$

x [m] = {\begin{cases} \frac{\sin (0.1 π m)}{0.1 π m}, & m \neq 0, \\ 1, & m = 0 \end{cases}

$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$

m = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$

\pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$

x (t)

$x(t)$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ 최소값 에서 피크)은 계곡과 정렬 될 때. 및 의 가장 높은 피크가 일치 할 때 의 전역 최대 값 은 분명히 입니다. 실제로이 결론은이 sinc 신호뿐만 아니라 모든 신호 에도 적용됩니다 . 에서는 래그 , 우리가 우리는 보장이 아니라 각각 늘어선 산과 골은 모두 다른 것은 ( 에서 어디에서 발생하든 ) 가장 높은 봉우리와 가장 깊은 계곡이 적절하게 정렬되어 있다는 것입니다.

n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n = 0

$n = 0$

x [m]

$x[m]$

x [m - n]

$x[m-n]$

n = 0

$n = 0$

R_{x} [0] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} (x [m])^{2}

$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$

x [m]

$x[m]$

더 공식적으로 공식적인 증거를 요구하는 @JohnSmith와 같은 pedants의 경우, Cauchy Inequality 는 복소수 시퀀스 와 에 대해 보다 쉬운 표현을 위해서만 실제 값 시퀀스로 자신을 제한하면 더 자세한 버전은 여기서 평등 와 같이 양수 (음수) 가있는 경우 상한 (하한)을 유지합니다 (즉, $u$ $v$

{| \sum_{m} u [m] (v [m])^{*} |}^{2} \leq \sum_{m} | u [m] |^{2} \sum_{n} | v [m] |^{2} .

$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$

- \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$

λ

$\lambda$

u = λ v

$u = \lambda v$

u [m] = λ v [m] \forall m

$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ 여기서 ( )). 제곱근 안의 합 이 시퀀스 의 에너지 및 임을 인식하면 설정 및 여기서 은 정수이고, 우리는 그리고 지금 인식하기

λ > 0

$\lambda > 0$

λ < 0

$\lambda < 0$

E_{u}

$\mathcal E_u$

E_{v}

$\mathcal E_v$

- \sqrt{E_{u} E_{v}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{E_{u} E_{v}}

$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$

v [m] = x [m - n]

$v[m] = x[m-n]$

n

$n$

- \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}} \leq R_{x} [n] \leq \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$

E_{u} = E_{v} = E_{x}

$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$ 우리가이 경계 경우 중 하나에 참가 유지와 모든 . 마지막으로, 이며 일 때 시퀀스 은 시퀀스 과 동일 합니다 (즉, 은 모든 대해 과 같은 양의 실수 )입니다. 그 보여주는 으로 피크 값을 갖는

- E_{x} \leq R_{x} [n] \leq E_{x}

$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$

x [m] = λ x [m - n]

$x[m] = \lambda x[m-n]$

m

$m$

E_{x} = \sum_{m} (x [m])^{2} = R_{x} [0]

$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$

n = 0

$n=0$

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$

v [m] = x [m - n] = x [m - 0] = x [m]

$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$

λ = 1

$\lambda = 1$

u [m] = λ v [m]

$u[m] = \lambda v[m]$

m

$m$

- R_{x} [0] \leq R_{x} [n] \leq R_{x} [0]

$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n = 0

$n=0$ 다른 모든 자기 상관 값은이 피크보다 작습니다.

경우 A는 정기적으로 한정된 전력 신호에 대해 상기 소정의 합계 가 분기가. 그러한 경우, 주기적 자기 상관 함수 여기서 은 의주기 입니다. 이고, 모든 정수에 대해 . 참고 의주기 함수이다 . 이제위한 의 최대 값 또한 주기적으로 반복한다 : $x[m]$ $R_x[n]$

R_{x} [n] = \sum_{m = 0}^{N - 1} x [m] (x [m - n])

$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$

N

$N$

x [m]

$x[m]$

x [m] = x [m - N]

$x[m] = x[m-N]$

m

$m$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n

$n$

R_{x} [0] \geq | R_{x} [n] |

$R_x[0] \geq |R_x[n]|$

1 < n < N

$1 < n < N$

R_{x} [0]

$R_x[0]$

R_{x} [k N] = R_{x} [0]

$R_x[kN] = R_x[0]$ 모든 정수 . 또한 일부 대해 일 수 있으며 일반적으로 이 짝수 인 경우 일 수 있습니다. 주기적 자기 상관 함수 에서 가장 높은 피크만큼 깊은 계곡을 가질 수 있습니다 . 이러한 시퀀스의 가장 간단한 예는 이고 시퀀스의 한주기가 의주기적인 자기 상관은주기적인 시퀀스 일뿐입니다. 즉, 자기 상관과 교호하는 피크와 밸리 을 갖는 피크 값 때

k

$k$

R_{x} [n] = - R_{x} [0]

$R_x[n] = -R_x[0]$

n \in {1, 2, \dots, N - 1}

$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$

n = N / 2

$n = N/2$

N

$N$

N = 2

$N=2$

[1 - 1]

$[1 ~ -1]$

[2 - 2]

$[2 ~ -2]$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

2

$2$

n

$n$ 는 짝수 정수 ( 은 짝수 정수임을 잊지 마십시오 !)이며 홀수 값에서 "반피"값 를 갖습니다 . 보다 일반적으로, 우리는 이 짝수이고 기 가 로 분해 될 수있을 때마다이 현상이 발생 합니다.

0

$0$

- 2

$-2$

n

$n$

N

$N$

\vec{x}

$\vec{x}$

[\vec{x^{'}}, - \vec{x^{'}}]

$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

— 디립 사르 베이트
소스

3

사용

{(x [n] - x [n + m])}^{2} = x^{2} [n] + x^{2} [n + m] - 2 x [n] x [n + m]

$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$

하나는 쉽게 보여줄 수 있습니다

\begin{aligned} R_{x} [m] & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] x [n + m] \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x^{2} [n] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \\ = R_{x} [0] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$

첫 번째 항은 단순히 이고 두 번째 항은 첫 번째 항에서 빼는 음수가 아닌 수입니다. 즉, 은 대해 을 초과 할 수 없습니다 . $R_x[0]$ $R_x[m]$ $R_x[0]$ $m$

— 로버트 브리스 토우-존슨
소스

1

여기에 유일한 정답입니다. 고마워, 나는 그것을 스스로 파생시키는 데 어려움을 겪었다.

— John Smith