신호의 I 및 Q 표현에 AWGN을 어떻게 추가합니까?

Matlab에서 시뮬레이션하는 무선 통신 시스템이 있습니다. 전송 된 신호의 위상을 약간 조정하여 워터 마킹을 수행하고 있습니다. 내 시뮬레이션은 원래 I (위상) 및 Q (구형) 값을 사용하여 워터 마크에 추가합니다. 그런 다음 전송 후 결과 비트 오류율을 시뮬레이션해야합니다. 지금은 신호에 다양한 양의 열 잡음을 추가하기 만하면됩니다.

신호가 I 및 Q 채널 로 표시되므로 I 및 Q에 직접 AWGN (additive white Gaussian noise)을 추가하는 것이 가장 쉽습니다 . 한 가지 생각은 두 채널에 독립적으로 노이즈를 추가하는 것이었지만 내 직감은 이것이 전체적으로 신호에 추가하는 것과 동일하지 않다고 말합니다.

이 형식 일 때 어떻게 노이즈를 추가 할 수 있습니까?

예, 두 가우시안의 합이 가우시안이고 분산이 합산 되기 때문에 분산 AWGN을 두 항 각각에 별도로 추가 할 수 있습니다 . 이는 원래 신호 에 분산 2 σ 2 의 AWGN을 추가하는 것과 동일한 효과를 갖습니다 . 관심이 있으시다면 더 자세한 설명을 드리겠습니다.$\sigma^2$$2\sigma^2$

분석 신호 은 다음과 같이 동 위상 및 구적 성분에 기록 될 수 있습니다.$x(t)=a(t)\sin\left(2\pi f t + \varphi(t)\right)$

$$x(t)=I(t)\sin(2\pi ft) + Q(t)\cos(2\pi ft)$$

여기서 및 Q ( t ) = a ( t ) sin ( φ ( t ) ) 입니다. 원래 신호에 AWGN을 x ( t ) + u ( t ) 로 추가하려면 u ( t ) ∼ N ( μ , σ $I(t)=a(t)\cos(\varphi(t))$$Q(t)=a(t)\sin(\varphi(t))$$x(t)+u(t)$ 을 입력하면 AWGN을 각 용어에 다음과 같이 추가 할 수 있습니다.$u(t)\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

$$y_1(t)=\left[I(t)\sin(2\pi ft) + v(t)\right] + \left[Q(t)\cos(2\pi ft) + w(t)\right]$$

여기서, $v(t), w(t)\sim\mathcal{N}(\mu/2,\sigma^2/2)$

또한 동 위상 및 직교 항은 부가 적이므로 AWGN은 위 의 x ( t ) 의 표현 에서 두 항 중 하나에 간단히 추가 될 수도 있습니다 . 다시 말해,$IQ$$x(t)$

y 3 = [ I ( t ) sin ( 2 π f t ) + u ( t ) ] + Q ( t )

$$y_2=I(t)\sin(2\pi ft) + \left[Q(t)\cos(2\pi ft) + u(t)\right]$$ $$y_3=\left[I(t)\sin(2\pi ft) +u(t)\right]+ Q(t)\cos(2\pi ft)$$

어떤 구성 요소에 노이즈가 추가되었는지 추적 할 필요가 없기 때문에 y 1 사용을 선호하지만 통계적으로 과 동일 합니다.$y_1$$y_1$

Kellenjb는 Rajesh D와 endolith의 쿼리에 응답하지 않았으며 정확히 필요한 것이 무엇인지 파악하기가 쉽지 않습니다. 그러나 yoda와 Mohammad가 제공 한 답변에 대한 세부 사항 중 일부에 동의하지 않기 때문에 Mark Borgerding에 대한 사과와 함께 모든 유용한 정보가 결국 모든 지루한 방정식의 끝에 표시되는 별도의 답변을 게시하고 있습니다.

전형적인 통신 시스템에서, 수신 신호의 대역폭의 대역 통과 신호 인 중심 주파수 F C » B Hz의는 다음과 같이 표현 될 수있는 R ( t ) = I ( t ) COS ( 2 π F 의 C t ) - Q ( t ) 죄 ( 2 π F에서 의 C t ) I ( t ) 및 Q ( t는 ) 아르$2B$$f_c \gg B$

$$r(t) = I(t) \cos(2\pi f_c t) - Q(t) \sin(2\pi f_c t)$$ $I(t)$$Q(t)$ 저주파 대역의 신호 Hz에서와 같이 언급 된 동 위상 및 직교 성분 yoda'a 쓰기에서 기호의 차이 및 용어를 참고. 우리가 쓸 수있는 이러한 방식으로 (R)을 ( t를 $B$ 여기서, I ( t ) + j Q ( t ) 는복소수 기저 대역 신호입니다. $$r(t) = \text{Re}\left\{ [I(t) + jQ(t)] e^{j2\pi f_c t}\right\}$$ $I(t) + jQ(t)$

$2\cos(2\pi f_c t + \theta)$$-2\sin(2\pi f_c t + \theta)$$\theta = 0$$I(t)$$Q(t)$

$$\begin{align*} r(t)[2\cos(2\pi f_c t)] &= I(t)[2\cos^2(2\pi f_c t)] - Q(t)[2\sin(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_c t)]\\ &= I(t) + \left [ I(t) \cos(2\pi (2f_c)t) - Q(t) \sin(2\pi (2f_c) t) \right ]\\ r(t)[-2\sin(2\pi f_c t)] &= I(t)[-2\sin(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_c t)] + Q(t)[2\sin^2(2\pi f_c t)]\\ &= Q(t) + \left [ - I(t) \sin(2\pi (2f_c)t) - Q(t) \cos(2\pi (2f_c) t) \right ] \end{align*}$$ where the double frequency terms (in square brackets) are eliminated by the low-pass filters which we assume to have sufficient bandwidth to pass $I(t)$ and $Q(t)$ without distortion.

Broadband noise is present in the front end of the receiver and the key questions that need to be answered are what happens in an actual receiver, and what must be done to simulate the reality.

• In an actual system, the net result is that the outputs of the low-pass filters are $$\begin{align*} x(t) &= I(t) + N_I(t)\\ y(t) &= Q(t) + N_Q(t) \end{align*}$$ where $N_I(t)$ and $N_Q(t)$ are independent zero-mean Gaussian random processes with common variance $$\sigma^2 = \frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^\infty \vert H(f) \vert^2 \mathrm df$$ where $H(f)$ is the common transfer function of the low pass filters. In particular, for each $t_0$, $N_I(t_0)$ and $N_Q(t_0)$ are independent zero-mean Gaussian random variables with variance $\sigma^2$. However, $N_I(t_0)$ and $N_I(t_1)$ need not be independent. The SNR can be taken to be the ratio of the signal power in $I(t)$ and $Q(t)$ to the noise variance.
• In a quadrature down-sampling system or in a MATLAB simulation wishing to capture every nuance, "$r(t) + ~$ noise" is sampled $M$ times each cycle of the RF carrier at $f_c$ Hz, and so the $m$-th sample is $$\begin{align*} r[m] &= r(m/Mf_c) + N[m]\\ &= I(m/Mf_c)\cos(2\pi (m/M)) - Q(m/Mf_c)\sin(2\pi(m/M)) + N[m] \end{align*}$$ where the $N[m]$'s zero-mean Gaussian random variables with common variance whose value depends on the SNR. These can be tracked through the mixers and the low-pass filters during the detailed simulation.
• I do not recommend adding noise between the mixer outputs and the low-pass filter units. While there is noise introduced at that stage, this is typically overwhelmed by the noise from the front end that is coming through the mixers.
• In some systems, A/D conversion is done at the output of the low pass filters. If more filtering is to be done (e.g. matched filtering), the sampling will typically be at a higher rate than $B^{-1}$ or the inverse of the filter bandwidth. If noise is introduced at this stage, then for each $m$, $N_I[m]$ and $N_Q[m]$ should be taken to be independent zero-mean Gaussian random variables, but whether $N_I[m]$ and $N_I[m+i]$ are independent or not requires a lot of thought and analysis, and details that are known to Kellenjb but not to us.

Kellenjb,

The noise in both the I and Q are not in fact going to be gaussian. In fact they are going to originate from the same original noise vector. This is because there was only one noise vector to begin with at the receiver. So what is happening, is your signal comes into the receiver, where AWGN is added of course. Soon afterwards though, the receiver is going to project that (signal + noise) onto a sin basis, and onto a cosine basis, thereby giving you your I and Q components.

So now the noise in either branch is no longer gaussian, but are in fact, the product of a sin basis times orignal noise vector, and product of cosine basis times original noise vector.

The way I would recommend to simulate this, (are you doing all of this in baseband?), is to simply construct a sin and cosine basis, and simply multiply against (signal+noise), where 'signal' is your original signal of course, and then of course take it down to baseband after that. In fact once you filter for taking it down to baseband, your noise vectors are going to be non-white, and non-gaussian.

Hope this helps! :)