다양한 FT (CFT, DFT, DTFT 및 Fourier Series)에 대해 가장 명쾌하고 직관적 인 설명은 무엇입니까?

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이것들을 꽤 오랫동안 연구 한 후에도, 나는 그들이 서로 어떻게 관련되어 있고 어떻게 비슷한 소리가 나기 때문에 각각의 의미를 잊어 버리는 경향이 있습니다. 나는 당신이 너무나 직관적이고 수학적으로 아름다운 설명을 내 기억에 내 놓아서 내 기억에 포함시킬 것이며,이 스레드는 내가 (또는 다른 사람이) 필요할 때마다 매우 빠른 리프레쉬 역할을 할 것이라고 기대합니다.

fourier-transform

— 비네 쉬
소스

2

아마도 푸리에 시리즈로 시작해야 할 것입니다

— endolith

Pontryagin 이중성에 익숙하십니까?

— Lorem Ipsum

@yoda-아니요. 좀 더 자세히 설명해 주시겠습니까? [물론 구글에서 알아 볼게요.]

— Vighnesh

1

"이미지 처리에 대한 스티브 (Steve on Image Processing)": 푸리에 (Fourier)는 이 질문을 정확하게 해결합니다.

— nobar

나는 여기에 답을 다시 쓸 때가 아닙니다 (필요하지 않은 한). 그러나, 가능한 대답이 주어진다 특별한 경우로 나머지를 변환 및 치료 푸리에 할 수 있습니까 연구 연속적인 시간 @LoremIpsum에 의해 제안 된 폰트 랴긴 쌍 대성 트랙 다음

— 로랑 듀발

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나는 이 유인물 을 Oppenheim과 Willsky의 보완책으로 썼습니다 . 에서 봐 주시기 바랍니다 표 4.1 아래의 재현, 14 페이지. (더 큰 이미지를 보려면 클릭하십시오.) 나는 당신과 같은 질문에 대답하기 위해 특별히 그 표를 썼습니다.

네 가지 작업의 유사점과 차이점에 유의하십시오.

"시리즈":주기적인 시간, 주파수의 불연속
"변환": 비 주기적, 주파수 연속
"연속 시간": 연속적인 시간, 비주기적인 주파수
"이산 시간": 이산 시간,주기적인주기

이 메모가 도움이 되셨기를 바랍니다. 원하는대로 배포하십시오.

— 스티브 조아
소스

1

좋은 요약입니다. 위 표에서 참조 된 "Discrete Time Fourier Series"는 일반적으로 이산 푸리에 변환 (DFT)이라고합니다.

— Jason R

조금만 말하면,이 답변은 실제로 Jason R이 말한 것처럼 좋은 요약이며 dsp.SE에 영구적으로 가치가있는 모든 사람이 나중에 참조 할 수 있도록 링크 할 수는 있지만 실제로 묻는 질문에 응답하지는 않습니다. 이러한 이슈들 에 대한 직관적 인 설명을 위해 (명확성은 추가 된 보너스 일 수 있고 제목에는 언급되어 있지만 질문의 본문에는 언급되지 않았기 때문에 절대적으로 요구되지는 않습니다).

— Dilip Sarwate

2

훌륭한 답변 Steve-이것이 OP가 찾고있는 것이라고 생각합니다. 짧고 달콤하며 요점.

— Spacey

유인물 2 페이지 하단에 잘못 인쇄되어 있습니까? 그것은 언급 한 것 :

.

의미하지 않았습니까 ?

x (t) b (t - t_{0}) = x (t_{0}) b (t - t_{0})

$x(t)b(t-t_0)=x(t_0)b(t-t_0)$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) b (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)b(t-t_0)dt = x(t_0)$

— mbaitoff

1

오판이 아닙니다. 귀하의 진술은 모두 사실이지만, 안내서의 해당 섹션이 단위 임펄스의 기본, 공리적 정의를 설명하기 때문에 첫 번째 내용을 작성하려고했습니다. 두 번째 문장은 다음 정의에서 파생됩니다.

.

\int_{\infty}^{\infty} x (t) δ (t - t_{0}) d t = \int_{\infty}^{\infty} x (t_{0}) δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0}) \int_{\infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-t_0) dt = \int_{\infty}^{\infty} x(t_0)\delta(t-t_0) dt = x(t_0) \int_{\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) dt = x(t_0)$

— Steve Tjoa

9

이러한 개념에 대한 명쾌하고 정확한 설명을 위해서는 표준 교과서 (Oppenheim-Schafer, Proakis-Manolakis 또는 Richard Lyons의 "디지털 신호 처리 이해")를 살펴보아야합니다. . 그러나 커피 테이블 토론을 가정하면 다음과 같은 내용에 대해 매우 느슨한 진술을 할 것입니다. :)

일반적인 연속 시간 신호의 경우 특정 주파수가 없을 것으로 예상하지 않으므로 푸리에 변환 (또는 연속 푸리에 변환)은 -inf에서 + inf를 지원하는 연속 곡선입니다.

주기적 연속 신호 (주기 T)의 경우, 푸리에는 동일한주기 (T, T / 2, T / 3, T / 4, ...)를 갖는 사인 및 코사인의 조합으로 신호를 표현했습니다. 사실상이 신호의 스펙트럼은 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T 위치에서 일련의 스파이크입니다. 이것을 푸리에 시리즈 표현이라고합니다. 주기적인 연속 시간 신호의 푸리에 시리즈 표현은 평균 제곱 의미로 점점 더 많은 사인과 코사인 (또는 복잡한 지수)을 포함 할 때 신호로 수렴된다는 이론이 있습니다.

지금까지의 도덕 : 시간의 주기성 => 뾰족한 스펙트럼

불연속 시간 켜기 ... 연속 시간 신호를 샘플링하면 어떻게됩니까? 충분히 높은 신호의 경우 신호를 재구성 할 수 없다는 것이 분명해야합니다. 신호의 주파수에 대해 가정하지 않으면 샘플링 된 신호가 주어지면 실제 신호가 무엇인지 말할 방법이 없습니다. 다시 말해서, 이산 시간 신호에서 서로 다른 주파수가 동등하게 표현된다. 일부 수학을 통해 원래 연속 신호에서 샘플링 된 신호의 스펙트럼을 얻을 수 있음을 알 수 있습니다. 방법? 연속 시간 신호의 스펙트럼을 + -1 / T, + -2 / T의 양만큼 이동하고 이동 된 모든 사본을 추가합니다 (일부 배율 조정). 이는주기 1 / T에주기적인 연속 스펙트럼을 제공합니다. (참고 : 스펙트럼은 시간 샘플링으로 인해 주기적이며 시간 신호는 t는 주기적이어야 함) 스펙트럼은 연속적이므로주기 중 하나만으로도이를 나타낼 수 있습니다. 이것이 DTFT ( "Discrete-Time"Fourier Transform)입니다. 원래 연속 시간 신호의 주파수가 + -1 / 2T 이하인 경우, 이동 된 스펙트럼의 복사본이 겹치지 않으므로 스펙트럼의 한주기를 선택하여 원래 연속 시간 신호를 복구 할 수 있습니다 ( 나이키 스트 샘플링 정리).

기억해야 할 또 다른 방법 : 뾰족한 시간 신호 => 스펙트럼의 주기성

k에 대한 샘플링주기 T / k로 연속 시간주기 신호를 샘플링하면 어떻게됩니까? 음, 연속 시간 신호의 스펙트럼은 뾰족하고 T의 제수로 샘플링하면 시프트 사본의 스파이크가 정확히 1 / T의 배수에 빠지므로 결과 스펙트럼은 뾰족한주기 스펙트럼입니다 . 뾰족한주기 시간 신호 <=> 뾰족한주기 스펙트럼 (주기와 샘플링 주파수가 위와 같이 "상당히 관련되어 있다고 가정") DFT (Discrete Fourier Transform)라고합니다. FFT (Fast Fourier Transform)는 DFT를 효율적으로 계산하는 알고리즘 클래스입니다.

DFT가 호출되는 방식은 다음과 같습니다. 시간에 따라 N 개의 샘플 시퀀스를 분석하려고합니다. DTFT를 사용하여 기간 중 하나를 처리 할 수 있지만 신호가주기 N과주기적인 것으로 가정하면 DTFT가 DFT로 감소하고 신호를 완전히 특성화하는 DTFT 1주기의 N 개 샘플 만 있습니다. 스펙트럼을보다 정밀하게 샘플링하기 위해 신호를 제로 패딩 할 수 있습니다 (많은 속성).

위의 모든 내용은 DSP 연구를 동반 한 경우에만 유용합니다. 위의 내용은 매우 거친 지침입니다.

— rk2
소스

7

하자 주기와 유계 함수 나타내는 모두 번호를 들면, , . 특정 예로서, 가 그러한 함수이다. 계수 을 선택하고자하는이 함수에 대한 "최상의"근사 를 싶습니다. $x(t)$ $T$ $t$ $x(t+T) = x(t)$ $\cos(2\pi t/T)$ $a_n\cos(2\pi nt/T)$ $a_n$ 그래서 제곱 오차는가능한 한 작게한다. 정수를 확장하면

\int_{0}^{T} (x (t) - a_{n} \cos (2 π n t / T))^{2} d t,

$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$

가장 왼쪽 적분은

의 한 주기로 전달되는에너지

이고 가장 오른쪽 적분은

값을 가지므로

squared error = \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \int_{0}^{T} \cos^{2} (2 π n t / T) d t .

$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

E

$E$

x (t)

$x(t)$

T / 2

$T/2$

지금. 위한

, 차 함수

에서 최소 갖는다

뿌리 사이 (중간

squared error = E - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \frac{T}{2} .

$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$

a > 0

$a > 0$

a z^{2} + b z + c

$az^2 + bz + c$

z = - b / 2 a

$z = -b/2a$

우리의 차 함수로 표현되는 제곱 오차 이후!) 그리고,

의 선택

최소화 제곱 오차임을

(- b / 2 a) \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} / 2 a

$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$

a_{n}

$a_n$

a_{n}

$a_n$

마찬가지로,

을

로 선택

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t .

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

b_{n}

$b_n$

는

와

사이의 제곱 오차를 최소화합니다. 따라서 우리는 푸리에 계열이같은주기의 사인 및 코사인 신호와 그 고조파의 관점에서주기적 함수

에대한 최소 제곱 오차 근사를 찾는 저렴한 트릭이라는 것을 알 수있습니다.

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \sin (2 π n t / T) d t

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$

x (t)

$x(t)$

b_{n} \sin (2 π n t / T)

$b_n\sin(2\pi nt/T)$

x (t)

$x(t)$

— 디립 사르 베이트
소스

4

Endolith는 실제로 푸리에 시리즈로 시작하여 푸리에 변환으로 확장되는 방법을 보면 상황이 이해되기 시작한다는 점에서 정확합니다. 이 답변의 전반부에서 이에 대한 간단한 설명을 제공합니다 .

푸리에 변환 가족을 보는 좋은 (아마도 간단하지는 않은) 방법은 Pontryagin 이중성 고글을 사용하는 것입니다. 원본 도메인과 변환 된 도메인별로 다른 변환을 기억할 수있는 좋은 방법입니다.

$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

$n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\mathbb{T}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{T}$

이 답변은 완전히 완성되지 않았으며 시간이있을 때 몇 가지 사항을 분명히하기 위해이 답변을 기반으로 할 것입니다. 그러나 그때까지는 다른 사람으로부터보다 직관적 인 설명을 얻을 때까지 씹을 수 있습니다. 또한 Wikipedia 에서 푸리에 분석의 변형을 읽어보십시오 .

— 로렘 입숨
소스

3

가장 중요한 것은 푸리에 변환이 필요한 이유를 근본적으로 이해하는 것입니다. 그것들은 가능한 많은 신호 변환 중 하나이지만 가장 유용한 것 중 하나입니다. 변환은 기본적으로 신호를 다른 도메인으로 변환하여 해당 도메인의 신호에 대한 통찰력을 제공하거나 도메인이 수학적으로 작동하기 쉬운 것일 수 있습니다. 해당 도메인에서 작업을 마치면 역변환을 통해 원하는 결과를보다 쉽게 얻을 수 있습니다.

푸리에 이론에서 가장 기본적인 구성 요소는 모노톤 (사인 및 코사인)입니다. 푸리에 수학을 사용하여 신호를 주파수 성분 (모노톤)으로 분해 할 수 있습니다. 따라서 푸리에 변환은 기본적으로 신호를 시간 도메인에서 주파수 도메인으로 변환합니다. 푸리에 계열의 각 모노톤 계수는 신호에서 해당 주파수 성분의 강도에 대해 알려줍니다. 푸리에 변환 (CFT, DFT)은 신호의 주파수 도메인 뷰를 명시 적으로 제공합니다. 본질적으로 사인과 코사인이 중요한 파형입니다. 구형파와 같은 합성 신호, 또는 급격한 변동을 갖는 신호는 자연스럽게 발생할 가능성이 적고, 푸리에 변환에 의해 매우 명확하게 설명 된 바와 같이 놀랍게도 무한한 주파수 범위를 구성하지는 않는다. 사람들은 어떤 신호가 사인 / 코사인의 합으로 기록 될 수 있는지 의심했습니다. 푸리에는 사각 파 (사인 / 코사인에서 멀리 떨어져 있음)가 실제로 가능하다는 것을 보여주었습니다. 화이트 노이즈에는 강도가 동일한 모든 주파수가 포함됩니다.

또한, 푸리에 시리즈로 작업하는 경우 위상 항과 함께 계수는 구성 사인파 파형을 올바르게 중첩하는 데 필요한 것으로 간주되어 중첩이 실제로 변환을 수행하는 데 필요한 신호가되도록합니다. 푸리에 변환으로 작업 할 때 복소수는 암시 적으로 각 단조의 위상 항과 필요한 크기를 갖습니다. (적분은 대략 합산과 같습니다. 연속 => 적분, 이산 => 합산)

일단 당신이 개념의 주제를 이해했다면 나머지는 당신이 책을 읽음으로써 당신이 이해해야 할 세부 사항 일 뿐이라고 생각합니다. 푸리에 변환을 다양한 필드에 적용하는 것에 대해 읽으면 더 잘 이해할 수 있습니다.

— 아비 섹
소스

2

DFT는 하나의 직교 공간에서 다른 직교 공간으로 숫자 쌍으로 구성된 벡터의 변환입니다. 숫자 계산으로 매우 일반적으로 수행됩니다. 어떤 이유로, 현실 세계에서 하나의 숫자 묶음을 취할 때, 두 번째 숫자 묶음은 종종 꽤 유용한 것에 가깝습니다.

나는 자연 과학에서 수학의 불합리한 효과 , 특히 DFT를 많은 시스템에 적용하는 것과 관련하여 다양한 종류의 2도 미분 방정식, 내가 방금 떨어 뜨린 커피 스푼의 소리까지 근사한 것처럼 보입니다.

다른 3 개의 XYZ-FT는 커피가 너무 차가워지기 전에 화이트 보드에 상징적 솔루션을 맞추는 데 도움이되는 신화적인 무한 엔티티의 존재를 가정합니다. 그것들은 신호 처리의 "구형 소"입니다. DTFT와 푸리에 시리즈는 하나의 벡터가 다른 개체의 무한 밀도를 희생하여 무한대로 확장 될 수 있다고 가정합니다. 푸리에 시리즈는 두 개체 모두 무한 연속 함수일 수 있다고 가정합니다.

충분한 수학 과정을 수강하고 이러한 가상의 실체를 어떤 의미에서 정확하고 완전한 이중으로 만드는 데 필요한 모든 정의와 가정을 결정할 수도 있습니다.

— hotpaw2
소스

첫 문장에서 "직교 공간"이란 무엇입니까? 공간 직교 무엇 을 , 또는 특수 속성이 공간은 당신이 "직교"그것에 형용사를 수여하여 다른 평범한 공간에서 구별되어 있는가 무슨 일이?

— Dilip Sarwate

벡터 공간에 대해 더 정확한 용어 인 "직교 정상"일 수 있습니까?

— hotpaw2

x

$\mathbf x$

y

$\mathbf y$

⟨ x, y ⟩ = 0

$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=0$

A

$A$

A A^{T}

$AA^T$

A A^{T}

$AA^T$ 공간의 벡터는 서로 직교하거나 직교하며 단위 길이도 있습니까? 그렇다면 그러한 공간의 예를 들어 줄 수 있습니까?

— Dilip Sarwate

DFT 조리개 길이에서 정확히주기적인 모든 사인 또는 코사인 사이의 내적은 동일한 주파수 함수를 제외하고 0입니다. N이 가방에 들어있는 커피 원두 수보다 큰 경우에도 마찬가지입니다. 그것들을 직교 정규 단위 진폭으로 만드십시오.

— hotpaw2

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$