푸리에 변환이 왜 그렇게 중요한가?

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신호 처리에 관해 논의 할 때 모두 푸리에 변환에 대해 논의합니다. 신호 처리가 왜 그렇게 중요하며 신호에 대해 무엇을 알려줍니까?

디지털 신호 처리에만 적용됩니까 아니면 아날로그 신호에도 적용됩니까?

fourier-transform

— jcolebrand
소스

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최근 푸리에 변환에 대한 토론이 math.SE에서 되살아났습니다. 저는이 사이트의 사람들이 그 가치를 발견 할 수도 있고 참여하기를 원할 수도 있다고 생각했습니다.

— Dilip Sarwate

1

cf. 훌륭한 역사적 배경에 대한 이 답변 . 푸리에 시리즈는 프톨레마이오스의 에피 사이 클릭 천문학 까지 거슬러 올라간다 . 푸리에 시리즈에 더 많은 조건을 추가로 더 편심 및 주전원, 유사한 추가, 하나는 설명 할 수 있는 하늘에있는 개체의 연속 동작.

— Geremia

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이것은 상당히 광범위한 질문이며, 왜 정확하게 푸리에 변환이 신호 처리에 중요한지 를 정확히 지적하기는 매우 어렵습니다 . 가장 간단하고 손을 흔들며 대답 할 수있는 방법은 다른 도메인에서 신호를 볼 수 있는 매우 강력한 수학적 도구라는 것입니다. 내부에서 여러 어려운 문제를 분석하기가 매우 간단 해집니다.

거의 모든 공학 및 물리 과학 분야에서 보편적으로 사용되는 이유는 모두 다른 이유로 인해 이유를 좁히기가 더 어렵습니다. 실제 사례와 많은 역사와 함께 널리 채택 된 일부 속성을 살펴보면 중요성을 이해하는 데 도움이되기를 바랍니다.

역사:

푸리에 변환의 중요성을 이해하려면 조셉 푸리에가 제시 한 푸리에 시리즈의 힘을 조금 뒤로 물러서서 이해하는 것이 중요합니다. 간단히 말해서, 도메인 통합 가능한 주기 함수 는 다음과 같이 무한한 사인과 코사인으로 쓸 수 있습니다. $g(x)$ $\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} τ_{k} e^{ȷ k x}

$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$

τ_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{D} g (x) e^{- ȷ k x} d x

$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$

여기서 입니다. 함수가 구성 주파수 (즉, 모든 주파수의 사인 및 코사인)로 나눌 수 있다는이 아이디어는 강력한 기능이며 푸리에 변환의 중추를 형성합니다. $e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

푸리에 변환 :

푸리에 변환은 위의 푸리에 계열을 비 주기적 기능으로 확장 한 것으로 볼 수 있습니다. 완전성과 명확성을 위해 여기에서 푸리에 변환을 정의하겠습니다. 경우 연속적인 적분 신호이며, 다음의 푸리에 변환, 주어진다 $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{R} x (t) e^{- ȷ 2 π f t} d t, \forall f \in R

$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$

역변환은

x (t) = \int_{R} X (f) e^{ȷ 2 π f t} d f, \forall t \in R

$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$

신호 처리의 중요성 :

무엇보다도 신호의 푸리에 변환은 신호에 어떤 주파수가 존재하고 어떤 비율로 존재하는지 알려줍니다 .

예 : 통화 중을 누를 때 각 전화기의 숫자 버튼이 다르게 들리고 모든 전화기 모델에서 동일하게 들리는 것을 본 적이 있습니까? 버튼을 고유하게 식별하는 데 사용할 수있는 서로 다른 두 개의 정현파로 구성되어 있기 때문입니다. 전화기를 사용하여 메뉴를 탐색하기 위해 펀치를 조합 할 때, 상대방이 누른 키를 아는 방식은 입력의 푸리에 변환을 수행하고 현재 주파수를 보는 것입니다.

수학을 단순하게 만드는 매우 유용한 기본 속성 외에도 신호 처리에서 그 중요성이 가장 큰 다른 이유는 다음과 같습니다.

푸리에 변환의 크기 제곱 는 신호 가 특정 주파수 에서 갖는 전력량을 즉시 알려줍니다 . $\vert X(f)\vert^2$ $x(t)$ $f$
Parseval의 정리 (일반적으로 Plancherel의 정리)에서 이것은 모든 시간에 걸친 신호의 총 에너지가 모든 주파수에 걸친 변환의 총 에너지와 같다는 것을 의미합니다 . 따라서 변환은 에너지 보존입니다. $\int_{R} | x (t) |^{2} d t = \int_{R} | X (f) |^{2} d f$ $\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$
시간 영역에서의 컨벌루션은 주파수 영역에서의 곱셈과 같습니다. 즉, 두 개의 신호 및 주어 지면 $x(t)$ $y(t)$

$z (t) = x (t) ⋆ y (t)$ $z(t)=x(t)\star y(t)$ 컨볼 루션을 나타내고,은 다음의 변환 푸리에 단지 인 $\star$ $z(t)$
$Z (f) = X (f) \cdot Y (f)$ $Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$
이산 신호의 경우 효율적인 FFT 알고리즘을 개발하면 거의 항상 시간 영역보다 주파수 영역에서 컨볼 루션 연산을 구현하는 것이 더 빠릅니다.
컨볼 루션 연산과 유사하게, 교차 상관은 와 같이 주파수 영역에서 쉽게 구현되며 , 여기서 복소 공액을 나타냅니다. $Z(f)=X(f)^*Y(f)$ $^*$
신호를 구성 주파수로 분리 할 수 있으므로 기여를 무효화하여 특정 주파수를 선택적으로 차단할 수 있습니다.

예 : 축구 (축구) 팬이라면 남아공에서 열린 2010 월드컵 기간 동안 모든 해설을 거의 익사시키지 않은 부 블라 (Vuvuzela)의 끊임없는 드론에 짜증을 냈을 것입니다. 그러나 부부 젤라의 피치는 ~ 235Hz로 일정하므로 방송사에서 노치 필터를 구현하여 문제가되는 소음을 차단할 수 있습니다. ^[1]
시간 영역에서 시프트 된 (지연된) 신호는 주파수 영역에서의 위상 변화로서 나타난다. 이것은 기본 속성 범주에 속하지만, 특히 이미징 및 단층 촬영 응용 분야에서 실제로 널리 사용되는 속성입니다.

예 : 파도가 이종 매체를 통과 할 때, 매체의 전파 속도 변화에 따라 속도가 느려지고 속도가 빨라집니다. 따라서 예상되는 것과 측정 된 것의 위상 변화를 관찰함으로써 초과 시간 지연을 추론 할 수 있으며, 이는 결국 매체에서 파동 속도가 얼마나 변했는지 알려줍니다. 이것은 물론 매우 간단한 평신도 설명이지만 단층 촬영의 기초를 형성합니다.
푸리에 변환을 사용하여 신호의 파생물 (n ^번째 파생물도)을 쉽게 계산할 수 있습니다 (106 참조).

디지털 신호 처리 (DSP) 및 아날로그 신호 처리 (ASP)

푸리에 변환 이론은 신호가 "좋고"절대적으로 통합 가능한 한 신호가 연속적이거나 불 연속적이든 상관없이 적용 가능합니다. 예, ASP는 신호가이 기준을 충족하는 한 푸리에 변환을 사용합니다. 그러나 ASP에서 일반화 된 푸리에 변환 인 Laplace 변환에 대해 이야기하는 것이 더 일반적 일 것입니다. 라플라스 변환은 다음과 같이 정의됩니다

X (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t, \forall s \in C

$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$

장점은 푸리에 변환에서와 같이 반드시 "좋은 신호"로 제한 될 필요는 없지만 변환은 특정 수렴 영역 내에서만 유효하다는 것입니다. LC / RC / LCR 회로를 연구 / 분석 / 설계하는 데 널리 사용되며 라디오 / 일렉트릭 기타, 와우와 페달 등에 사용됩니다.

이것은 지금 당장 생각할 수있는 전부이지만, 신호 처리 및 과학 / 엔지니어링에서 푸리에 변환의 진정한 중요성을 완벽하게 포착 할 수있는 글 / 설명은 없습니다.

— 로렘 입숨
소스

2

FT와 그 속성을 사용하여 실제 응용 프로그램을 제공하는 좋은 대답입니다. +1.

— goldenmean

3

@endolith 나는 푸리에 변환이 첫 번째라고 말하지 않았지만 그것이 강력 하다는 것입니다 . Taylor 시리즈는 구성 주파수 측면에서 확장 되지 않습니다 . 예를 들어, 테일러 계열의 약 은 이고 의 푸리에 변환은 는 (일부 정규화 요소를 제공하거나 취함). 후자는 올바른 주파수 표현이므로 Taylor 시리즈와의 비교가 여기에 적합한 지 확실하지 않습니다.

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

0

$0$

α x - α^{3} x^{3} / 3! + α^{5} x^{5} / 5! \dots

$\alpha x-\alpha^3x^3/3!+\alpha^5x^5/5!\ldots$

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

[δ (ω - α) - δ (ω + α)] / (2 ȷ)

$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$

— Lorem Ipsum

6

이 답변을 읽기 시작했을 때 어떻게 든 @yoda가 실제로 스크롤했는지 확인하기 전에 @yoda가 썼다는 것을 알았습니다.

— Phonon

2

# 3을 자세히 설명하려면 : Convolution은 평균 필터 또는 가우시안 필터와 같은 이미지에 필터를 적용 할 때 수행하는 작업입니다 (비선형 필터는 푸리에 변환 할 수는 없지만).

— Jonas

1

Peter K의 요점은 정말 중요합니다. 신호는 많은 다른베이스 와 관련하여 표현 될 수 있습니다 . 사인과 코사인은 LTI 시스템의 고유 기능이기 때문에 특별합니다.

— nibot

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Lorem Ipsum의 위대한 대답은 한 가지를 놓친 것입니다. 푸리에 변환은 신호를 구성 복합 지수로 분해합니다.

e^{ȷ ω t}

$e^{\jmath \omega t}$

복소수 지수는 선형의시 불변 시스템에 대한 고유 함수 입니다 .

간단히 말해서, 시스템, 가 선형이고 시간에 불변 인 경우, 복잡한 지수에 대한 반응은 동일한 주파수이지만 (아마도) 다른 위상 및 진폭 , --- 및 진폭은 0 일 수 있습니다. $H$ $\phi$ $A$

y = H [e^{ȷ ω t}] = A e^{ȷ ϕ} e^{ȷ ω t}

$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$

푸리에 변환은 선형의시 불변 시스템을 분석하는 데 유용한 도구입니다.

— 피터 케이
소스

@ 피터 K. 나는 대답의 "인기"에 대한 (학술적) 정확성에 대한 선택의 철학에 따라, 당신의 답변은 Lorem Ipsum이 제공 한 위의 답변에 통합되어야한다고 생각합니다. 사용자에 의해 포인트,이 매우 중요한 관점이 부족합니다.

— Fat32

@Peter이 요청으로 인해 불편을 끼쳐 드려 죄송합니다. 1) 중재자입니다. 2) 귀하의 이름이 빔 포밍 태그와 함께 "활성"사용자 목록에 표시되었습니다. Math.SE 의이 게시물이 여기에서 잘 수신 될지 여부에 대한 빠른 의견을 줄 수 있습니까 ? DSP.SE, Math.SE 또는 EE.SE가 그 질문을 도울 가장 좋은 기회인지는 확실하지 않습니다. 마이그레이션을 고려하고 있습니다 (Math.SE 중재자로 할 수 있음).

— Jyrki Lahtonen

@Peter K., dsp.stackexchange.com/questions/37468 에서 질문을 다시 열 수 있습니까 ? 나는 그것을 고쳤다. 감사합니다.

— Royi

@Royi 이미 열려 있습니까?

— Peter K.

피터 (어떤 사람들은 어떻게 접근 할 수 있고 어떤 사람들은 접근 @할 수 없습니까? 그에 대한 옵션은 어디에 있습니까?), 누군가 누군가 그것을 열어 놓은 것 같습니다. 감사합니다.

— Royi

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다른 이유:

그것은의 빠른 인해로, (회선에 대한 예를 들어 유용) linearithmic 시간 복잡도 (의 특히, 그 FFT ).
이것이 사실이 아니라면 아마도 시간 영역에서 더 많은 일을하고 푸리에 영역에서 더 적은 일을 할 것이라고 주장합니다.

편집 : 사람들이 FFT가 빠른 이유를 쓰라고 요청했기 때문에 ...

추가 작업을 영리하게 피하기 때문입니다.

$a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$ $b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

$n^2$

그러나 우리는 겉보기에 평범한 관찰을 할 수 있습니다. 두 개의 다항식을 곱하기 위해 계수를 계산할 필요는 없습니다 . 대신, 우리는 간단하게 할 수 평가 , 포인트 (충분한) 번호로 다항식을 할 점별의 평가 값의 곱셈을하고 보간 결과를 다시 얻을 수 있습니다.

$n$ $2n$ $\approx n^2$

그러나 우리가 올바르게하면 그렇게합니다! "올바른"지점에서 평가하는 경우 한 번 에 여러 지점에서 단일 다항식을 평가하는 것이 해당 지점에서 개별적으로 평가하는 것 보다 빠릅니다 . "올바른"포인트는 무엇입니까?

$z$ $z^n = 1$

우리는 단지 사용하여, 결과의 다항식 계수를 다시 얻을 수있는 포인트를 통해 보간 매우 유사한 과정을 할 수있는 역 단결의 뿌리를.

$n \log n$ $n^2$

따라서 FFT를 사용하여 일반적인 연산 (예 : 다항식 곱셈)을 훨씬 빠르게 수행 할 수있는 기능이 유용하게 사용되므로 MIT의 새로운 Sparse FFT 알고리즘 발견에 사람들이 흥분하게됩니다 .

— Mehrdad
소스

선형화 시간 복잡도 란 무엇입니까? 이 답변을 공감하지는 않지만 푸리에 변환에 대한이 토론에 가치가 있다고 생각하지 않습니다 .

— Dilip Sarwate

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@DilipSarwate 나는 그것을 O (n * log (n))의 속기로 사용하고 있다고 생각합니다.

— Jim Clay

@DilipSarwate : Jim이 옳습니다. 그것은이 모든 (이산) 푸리에 변환과 함께 할 수 있습니다. FFT가 없으면 푸리에 변환은 입력 크기 의 제곱 에 비례하여 시간이 걸리므로 유용성이 떨어집니다. 그러나 FFT를 사용하면 입력의 크기에 비례하는 시간 (대수 시간)을 사용하므로 훨씬 유용하고 계산 속도가 빨라집니다. 또한 이것은 흥미로운 읽을 거리 일 수 있습니다.

— Mehrdad

왜 빠른지 언급해야합니다. 그것의 빠른 곳과 왜 우리는 그것을 빨리 돌보는가?

— CyberMen

1

이 답변은 합법적이라고 생각합니다. "다른 사람들의 답변에서 설명한 모든 좋은 특성 외에도 FFT는 실시간 응용 프로그램에서 실현 가능한 접근 방법이 될 수 있습니다."

— Andrey Rubshtein

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$e^{kx}$ $\frac{d^n}{dx^n}$ $k$ $k$

$e^{kx}$

편집 : 사실, 차동 및 통합 연산자는 LSIV 연산자입니다 ( 여기 참조) .

— 차오 황
소스

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이 스레드의 다른 답변 중 일부는 푸리에 변환의 정의 및 속성에 대한 훌륭한 수학적 토론을 가지고 있습니다. 오디오 프로그래머로서, 나는 그것이 왜 나에게 중요한지에 대한 내 자신의 직관을 제공 하고 싶습니다.

푸리에 변환을 통해 다른 방법으로는 대답하기 어렵거나 불가능한 소리에 대한 질문에 대답 할 수 있습니다. 어려운 문제를 쉽게 만듭니다.

녹음에는 음표 3 개가 들어 있습니다. 메모는 무엇입니까? 시간이 지남에 따라 녹음을 진폭 세트로 남겨두면 쉬운 문제가 아닙니다. 시간이 지남에 따라 녹음을 주파수 세트로 변환하면 정말 쉽습니다.

지속 시간을 변경하지 않고 녹음 피치를 변경하고 싶습니다. 어떻게해야합니까? 입력 신호의 진폭을 조작하는 것만으로는 가능하지만 쉽지는 않습니다. 그러나 신호를 구성하는 주파수를 알고 있으면 쉽습니다.

이 녹음에 음성이나 음악이 포함되어 있습니까? 진폭 기반 방법 만 사용하는 것은 매우 어렵습니다. 그러나 푸리에 변환과 그 패밀리를 기반으로 거의 모든 시간에 정답을 추측하는 좋은 솔루션이 있습니다.

디지털 오디오 녹음에 관해 묻고 자하는 거의 모든 질문은 푸리에 변환의 이산 버전을 사용하여 녹음을 변환함으로써 더 쉽게 만들어집니다.

실제로 모든 최신 디지털 오디오 장치는 푸리에 변환과 매우 유사한 기능에 크게 의존합니다.

다시 한 번 비공식적 인 설명을 용서하십시오. 이것은 푸리에 변환이 왜 중요한지에 대한 나의 개인적인 직관 일뿐 입니다.

— w 비드
소스

존, 어리석은 질문이 있습니다. 직장에서 녹음 한 사운드에서 TWA ( osha.gov/pls/oshaweb/… ) 를 계산 하고 싶습니다. 오디오 파일을 분석 할 때 푸리에 변환을 사용하면이 값을 더 정확하게 측정 할 수 있을지 궁금합니다.

— Hossein Sarshar

마이크와 녹음 환경을 교정하지 않으면 안됩니다.

— johnwbyrd

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다른 사람들은 위대하고 유용한 대답을했습니다. 신호에 대해서만 생각해보십시오. 시간 영역이 아니라 어떤 주파수에 있는지 (및 위상)에만 관심이 있습니다. 이것이 최종 또는 완전한 답변이라는 것을 모르지만 푸리에 변환이 유용한 또 다른 이유입니다.

신호가있는 경우 샘플링 속도에 따라 무한한 (또는 가까운) 주파수로 구성 될 수 있습니다. 그러나 그렇지 않습니다. 대부분의 신호에 가능한 한 적은 수의 주파수가 있거나 충분한 속도로 샘플링하고 있다는 것을 알고 있습니다.

알고 있다면 왜 사용할 수 없습니까? 그것이 압축 감지 분야가하는 일입니다. 가장 가능성이 높은 신호는 오류가 가장 적고 주파수가 가장 적은 신호라는 것을 알고 있습니다. 따라서 푸리에 변환의 크기뿐만 아니라 측정과 관련된 전체 오류를 최소화합니다.

몇몇 주파수의 신호는 종종 최소 푸리에 변환 또는 대부분 제로 (압축 감지에서 말하는 "스파 스")를 갖습니다. 예를 들어 한 주파수의 신호는 변환으로서 델타 기능 만 가지고 있습니다.

공식적인 수학적 정의도 사용할 수 있습니다.

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

여기서 우리가하는 일은 오류를 최소화하고 (첫 번째 세트 ) 푸리에 변환을 최소화하는 것입니다 (두 번째 세트 ). 여기, 우리는 $||\cdot||$ $||\cdot||$

$\bar{x}$ 재구성 된 신호 인 (대부분은 원본에 가깝습니다)
$y$ , 측정
$A$ 선택 행렬
$x$ 우리의 신호
$\lambda$ 일부 상수
$F(x)$ 푸리에 변환.

Nyquist가 좋은 표현을 얻으려면 가장 높은 주파수의 두 배로 측정해야한다고 말한 것을 기억할 것입니다. 글쎄, 그것은 당신이 당신의 신호에 무한한 주파수를 가지고 있다고 가정했습니다. 우리는 그것을 지나칠 수 있습니다!

압축 감지 필드는 일부 도메인에서 대부분 0 (또는 희소) 인 신호를 재구성 할 수 있습니다. 푸리에 변환의 경우입니다.

— 스캇
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푸리에 변환의 주요 중요성은 시스템 분석에 있습니다. 우리 우주의 주요 구성 요소는 진공이며, 진공은 기본적으로 선형이며 시간이 변하지 않는 필드 캐리어입니다. 다른 필드는 각각의 벡터를 추가하여 겹쳐지며 특정 필드의 적용을 반복 할 때 결과는 동일합니다. .

결과적으로 물리적 문제와 관련된 많은 시스템은 선형의시 불변 시스템으로 동작하는 근사치입니다.

이러한 LTI 시스템은 그들의 "임펄스 응답"에 의해 기술 될 수 있고, 임의의 시분할 신호에 대한 응답은 신호를 임펄스 응답과 관련시킴으로써 설명된다.

컨볼 루션은 정형적이고 연관성있는 연산이지만 계산적으로나 개념적으로 비용이 많이 듭니다. 그러나 함수의 컨벌루션은 푸리에 변환에 의해 조각 별 곱셈으로 매핑됩니다.

이는 선형 시변 불변 시스템의 특성과 그 조합이 푸리에 변환 후에 훨씬 잘 설명되고 조작된다는 것을 의미합니다.

결과적으로 "주파수 응답"과 같은 것은 많은 시스템의 동작을 설명하는 데있어 매우 특징적이며 특성화에 유용합니다.

고속 푸리에 변환은 이론적으로 확고하게 라우팅되었지만 푸리에 변환으로 실제로 해석 할 수 없기 때문에 "거의 완전히 푸리에 변환과 완전히 다르지 않은"클래스에 속합니다. 이들은 변환 간격의 주기성을 갖는 샘플링 된 신호에 대해 이야기 할 때만 푸리에 변환에 완전히 대응합니다. 특히 "주기"기준은 거의 항상 충족되지 않습니다.

겹치는 윈도우 기능을 사용하는 것과 같이 여러 가지 해결 방법이 있습니다.

그러나 FFT 는 일을 올바르게 수행 할 때 불연속 시간 컨볼 루션을 수행하는 데 사용될 수 있으며 효율적인 알고리즘이므로 많은 일에 유용합니다.

거대한 숫자 나 다항식을 곱할 때처럼 빠른 컨볼 루션을 수행하기 위해 숫자 이론 변환 (복잡한 "실제"가 아닌 개별 숫자 필드에서 작동)에 기본 FFT 알고리즘을 사용할 수도 있습니다. 이 경우 "주파수 도메인"은 기본적으로 모든 입력에 대해 화이트 노이즈와 구별 할 수 없으며 역변환을 다시 수행하기 전에 유용한 해석이 없습니다.

— 데이비드
소스

2

푸리에 변환의 물리학 적 관련성은 신호에 존재하는 주파수의 상대적인 진폭을 알려주는 것입니다. 불연속 시간과 연속 시간 신호 모두에 대해 정의 할 수 있습니다. 모든 신호는 많은 고조파 주파수의 혼합으로 표현 될 수 있습니다. 푸리에 변환 (Fourier Transform)은 특정 범위의 주파수 만 필요한 필터 애플리케이션에서 도움을 주며, 먼저 신호에 포함 된 주파수의 진폭이 무엇인지 알아야합니다.

— 바트 시아 얀
소스