PSD (파워 스펙트럼 밀도) 설명

PSD가 어떻게 계산되는지 이해하려고합니다. 커뮤니케이션 엔지니어링 교과서 중 일부를 살펴 봤지만 아무 소용이 없습니다. 나는 또한 온라인을 보았다. Wikipedia 가 가장 잘 설명되어있는 것 같습니다. 그러나 나는 그들이 CDF (Cululative Distrubution Function)를 만들기로 결정한 부분에서 길을 잃었고 어떤 이유로 자기 상관 기능과 관련이 있는지 결정합니다.

내가 이해하지 못하는 것은 자기 상관이 PSD 계산과 어떤 관련이 있습니까? 나는 PSD가 단순한 의 푸리에 변환이라고 생각했을 것입니다 (여기서 는 시간에 대한 신호의 힘입니다). $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— 사용자
소스

어떻게 정의 합니까?

P (t)

$P(t)$

— Phonon

나는 그것을 아무것도로 정의하지 않습니다. 전원 신호일뿐입니다. 나는 그것을 정의해야한다면, 그것은 것 같아요

... 나는 점은 PSD가 아니라고 추측

하고있다 자기 상관과 관련이 있고 무엇을 얻지 못합니다.

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

임의의 신호에 대한 전력을 실제로 정의 할 수는 없습니다. 전압 및 전류 개념이 없습니다. 이 경우의 전력은 파도의 힘으로 정의됩니다 (원하는 경우 전자기). 그래서

이며 시변 수량이 아닌 단일 숫자입니다.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Phonon

Wiener-Khinchin 정리 에 대해 읽으십시오 . 당신은 Phonon이 당신에게 지적하고있는 것을 이해하기를 거부하고 있습니다. 당신이 계산하는 한계는 일정하기 때문에 그것의 푸리에 변환은 주파수 영역 에서

에서의 임펄스 일뿐 입니다. 그것이 당신의 보트를 떠 다니면, 그것을 위해 가십시오. 그러나 다른 사람들이 이해하는 것처럼 그것은 파워 스펙트럼 밀도가 아닙니다.

f = 0

$f=0$

— Dilip Sarwate

나는 그 정리에 대해 읽었습니다. 그리고 그것이 푸리에 변환을 자기 상관과 어떻게 관련시키는 지 알게됩니다. 그리고 나는 Phonon이 말한 것을 이해하는 것을 거부하지 않습니다 ... 나는 @Phonon이 말한 것을 정확하게 이해합니다. 내가 이해하지 못하는 것은 자기 상관 공식이 사용되는 이유이며 또한 푸리에 변환 방법이 사용되는 이유를 이해하지 못합니다 (PSD를 얻으려면 푸리에 변환을 취하고 크기를 제곱하거나 제곱하는 등). ... 왜 PSD를 제공하는지 알 수 없으며 적절한 파생물을 찾을 수 없었습니다.

— user968243

답변:

맞습니다. PSD는 신호의 힘을 푸리에 변환 (Fourier Transform)을 계산하는 것과 관련이 있습니다. 그러나 먼저 PSD와 자기 상관 함수 사이의 수학적 관계를 살펴 보겠습니다.

표기법 :
- 푸리에 변환 : $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (시간) 자동 상관 함수 : $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
자동 상관 함수의 푸리에 변환 함수가 실제로 확률 신호 신호 의 전력 스펙트럼 밀도와 같다는 것을 증명합시다 . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

그것은 무엇을 의미합니까? 참고 :이 설명은 "해킹"입니다. 그러나 여기에 간다

$\mathcal{F}[x(t)]$

푸리에 변환의 예상 값을 가져 오면 어떻게됩니까? 이 작동하지 않습니다. 예를 들어 제로 평균 신호를 보자.

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Av. Power of the Signal}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

$P(t)$

참고 문헌 :

[1] 통신 1, PL. 런던 임페리얼 칼리지 Dragotti

[2] 백색 잡음 및 추정, F. Tobar [미공개 보고서]

— ssk08
소스

d t

$dt$

d τ

$d\tau$

\infty

$\infty$

\infty

$\infty$

네 맞습니다.

— ssk08

x (t)

$x(t)$

x^{2} (t)

$x^2(t)$

N

$N$

N

$N$

@Mohammad는 그것을 완벽하게 요약했습니다.

— ssk08

좋은 파생이지만 난 당신이 더 쉽게 할 수 있다고 생각

$r(t) = x(t)*x(-t)$

시간 영역에서의 컨볼 루션은 주파수 영역에서의 곱셈입니다.

시간 영역에서의 시간 플립은 주파수 영역에서 "복잡한 공 액체"이다.

R (ω) = F {r (t)} = F {x (t)} F {x (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— 힐 마르
소스

자동 상관은 신호의 복잡한 컨쥬 게이트 (conjugate), 시간이 흐르는 자기 (time-flipped self)와 신호의 컨볼 루션 (convolution)이 아닌가?

— Jim Clay

나는 그가 신호가 진짜라고 가정하고 있다고 생각합니다.

— ssk08

@ Jim & ssk08 : 물론 둘 다 맞습니다. 방정식을 정리해 주셔서 감사합니다.

— Hilmar

PSD (파워 스펙트럼 밀도) 설명

P(t)P(t)P(t)

$P(t)$