Dirac 기능 샘플링

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Dirac 기능에 관한 이론적 인 질문을하고 싶습니다. Dirac 함수의 푸리에 변환은 모든 주파수에 대한 값 1 (DC)입니다. 샘플링 정리를 고려한다면, 신호에서 최대 주파수를 찾아 샘플링 할 수 있습니다 . 그러나 푸리에 변환에서 볼 수 있듯이 Dirac 함수는 모든 주파수를 포함하므로 적절한 찾을 수 없습니다 . 내 질문은 이론적 관점에서 Dirac 기능을 샘플링 할 수 있습니까? $\ f_{max}$ $\ f_s \ge \ 2f_{max}$ $f_s$

편집 : 도움이되는 답변 주셔서 감사합니다!

sampling

— 조지 테 세레스
소스

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디지털 랜드에서 x [n] = (1, n = 0) (0이 아닌 경우) 시퀀스는 dirac 분포가 아날로그 세계에서 수행하는 대부분의 작업을 수행합니다. 컨볼 루션의 기본 기능이며, 평탄한 주파수 응답을 가지며 "와이어"의 임펄스 응답입니다. 그것은 실제로 디지털에서 더 쉬운 것입니다

— Hilmar

개인적으로, 더 간결한 대답은 "아니오, dirac 임펄스 는 에서 샘플링 할 수 없다는 것 입니다. 함수 (또는 분포)가 에서 취하는 값이 없기 때문입니다 ." $\delta(t)$ $t=0$ $t=0$ 거기에 더없는 물리적 세계에서 디랙 델타 함수는 여기에 근사. 샘플링 할 것이 없습니다.

— robert bristow-johnson

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샘플링 정리의 유무에 관계없이 모든 신호 를 샘플링 할 수 있습니다. 샘플링 정리는 샘플링 속도가 충분하면 샘플이 완전한 원본 신호를 나타냅니다.

와 같이 불연속 적이 거나 더 나쁜 분포를 갖는 신호 는 대역 제한이 없으므로 샘플링 이론의 가설은 절대 유지되지 않습니다. $\delta(t)$

또한 샘플링 정리의 일반적인 데모에는 신호에 펄스 트레인을 곱하는 것이 포함됩니다. 나는 분포의 곱이 잘 정의되어 있지 않기 때문에 이것이 분포 신호라는 신호를 완전히 배제한다고 믿는다 .

실제로 에서 샘플링을 상상해보십시오 . 이 샘플에는 정의되지 않은 값이 있습니다. $\delta(t)$ $t=0$

— 후안 초
소스

"모든 신호를 샘플링 할 수 있습니다"– 음, 샘플링 알고리즘을 모든 신호에 적용 할 수 있습니다 . 그러나 실제로이 프로세스를 "샘플링"이라고하면 컨텍스트에 따라 이미 신호를 재구성 할 수 있다고 예상 할 수 있습니다. 결과, 즉 샘플링 정리의 전제 조건이 충족된다.

— leftaroundabout

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Juancho의 답변에 전적으로 동의합니다. 몇 가지만 추가하고 싶습니다. 주된 문제는 질문의 마지막 문장에서 분명하게 드러난 오해라고 생각합니다. "... Dirac 기능을 샘플링 할 수 있습니까?" Dirac 임펄스는 모든 대해 명확한 값을 갖는 일반적인 함수는 아니지만 분포입니다 (종종 'Dirac 함수'라고도 함). 그러므로 '평가'(또는 샘플)를 시도해서는 안됩니다. Dirac 임펄스에서 중요한 것은 필수 속성입니다. $t$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (티) 디 티 = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$ 및

\int_{- \infty}^{\infty} δ (티 - 티_{0}) 에프 (티) 디 티 = 에프 (티_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$

Juancho가 이미 지적했듯이 Dirac 임펄스 의 제곱은 정의되어 있지 않습니다. Dirac 임펄스를 샘플링하면 정의되지 않은 결과를 얻을 수 있습니다. $\delta^2(t)$

\sum_{엔} δ (티 - 엔 티) δ (티) = δ^{2} (티)

$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$

Dirac 임펄스는 선형시 불변 시스템을 분석하기위한 편리한 도구이지만 일반적인 신호 (샘플링 등)에서 수행되는 일반적인 처리 유형은 Dirac 임펄스에 적용될 때 정의되지 않고 의미없는 결과를 초래할 수 있으므로주의해서 처리해야합니다.

— 맷 L.
소스

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Dirac이 제공하는 정보는 위치와 강도입니다. Vetterli et al. N dirac의 합으로 주어진 신호를 샘플링하는 방법을 보여줍니다.

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

이 문맥에서 샘플링 은 대해 및 를 복구하는 것을 의미 합니다. 요컨대, 이것은 저역 통과 필터링 와 표준 스펙트럼 추정 기술을 사용하여 수행됩니다 . 자세한 내용은 다음을 참조하십시오. $x(t)$ $r_i$ $t_i$ $i=0,\ldots,N-1$ $x(t)$

Blu, Thierry 등 "신호 혁신의 희소 샘플링." Signal Processing Magazine, IEEE 25.2 (2008) : 31-40.

— 아리고
소스