극이 주파수 응답과 관련되는 방법

나는 주파수 1에서 무한 응답이 있기 때문에 극 s = 1을 고려 하여 최근 에 오류 에 빠졌다 . 그러나 응답은 단지 1이었다. 이제, 극이 주어지면 주파수 응답을 도출 할 수 있는가?

둘째, 이론에 따르면 극이 왼쪽 s- 평면에있을 때 시스템이 안정적이므로 시간이 지남에 따라 감소합니다. 하지만 기다려. "극점 (pole)"은 무한한 반응, 즉 시간의 성장을 의미합니까?

마지막으로 DSP에서 올바른 질문입니까? IMO, D 는 디지털을 나타내고 s- 도메인은 아날로그입니다. 게시물에 레이블을 지정할 S- 평면 또는 Laplace 변형 태그를 찾지 못했습니다.

업데이트 답변 주셔서 감사합니다. 극소하지만 근본적인 것-극 (및 0)과 주파수의 관계를 제외하고는 그것을 얻은 것 같습니다. 기본적으로, 왜 고유 값 (또는, 어떻게 당신이 전화를 할 수 있습니다 $s$ 연산자 / 변수) 주파수와 관련? 어떻게 든 지수 성장 및 Laplace 변환과 관련이 있어야합니다. 나는 극이 고유 값 (특히 이산 재발의 경우)이라는 것을 이해합니다. 그러나 이것은 주파수와 어떻게 관련이 있습니까?

— 발
소스

"DSP 스택 교환"이 아니라 "신호 처리 스택 교환"입니다. :)

— endolith 2016 년

endoith가 언급했듯이 아날로그 신호 처리가 주제입니다. DSP.SE은 초기 출시에 대한 편법 이름 이었지만, signals.stackexchange.com은 지금뿐만 아니라 여기에 연결합니다.

— datageist

극점과 주파수 간의 관계를 요청할 때 정확히 무엇을 의미합니까?

— Sudarsan

분명히, 극이 주파수 응답을 결정하는 방법과 이유입니다.

— Val

대답은 이미 추측 한 것입니다. 주파수 응답은

j ω

$j\omega$ 축을 따라 이동할 때 시스템 응답의 크기입니다 . 이 시스템의 전달 함수의 인수 분해 한 경우

H (s)

$H(s)$ 의 제품으로

1 / (s - p_{i})

$1/(s-p_{i})$ 및

(s - z_{i})

$(s-z_{i})$ , 당신이 할 필요가 상기 크기 찾을 수 있습니다

s = j ω

$s=j\omega$ 전송을위한을 기능과 이것은 분명히 요인과 시스템의 반응에 나타날 것이기 때문에 극점과 영점의 위치에 의해 결정됩니다.

— Sudarsan

답변:

귀하의 질문에 실제로 3 가지 질문이 있다고 생각합니다.

Q1 : (선형시 불변) 시스템의 극점에서 주파수 응답을 도출 할 수 있습니까?

예, 최대 한도까지 가능합니다. 경우 $s_{\infty,i}$ , $i=1,\ldots,N,$ 전달 함수의 극, 당신은 같은 전달 함수를 작성할 수 있습니다

\begin{matrix} (1) & H (s) = \frac{k}{(s - s_{\infty, 1}) (s - s_{\infty, 2}) \dots (s - s_{\infty, N})} \end{matrix}

$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$

참고 $s$ 복소 변수 $s=\sigma+j\omega$ 및 상기 주파수 가변 $\omega$ 복소수의 허수 축에 대응하는 $s$ -plane. 이제 전달 함수로부터 주파수 응답을 얻어야합니다. 안정적인 시스템 경우 대해 전달 함수 $H(s)$ 를 평가하여 간단히 수행 할 수 있습니다 . 따라서 (1)에서 를 끝났습니다. 참고 그러나,이 (안정적 시스템 만 사실이라고, 즉 융합의 지역의 경우 $s=j\omega$ $s$ $j\omega$ $H(s)$ 에는 $j\omega$ 축이포함됩니다.

Q2 : 안정적인 시스템은 어떻게 극을 가질 수 있습니까?

아시다시피, 인과적이고 안정적인 시스템의 경우 모든 극은 복합 $s$ 평면의 왼쪽 절반 평면에 있어야합니다 . 실제로 전달 함수 $H(s)$ 의 값은 극점 $s=s_{\infty}$ 에서 무한대로 진행 되지만 주파수 응답은 정상입니다. 모든 극이 왼쪽 절반 평면에 있으면 극점이 없습니다. $j\omega$ 축 (또는 오른쪽). 시간 영역에서 살펴보면 각 (단순) 극은 시스템의 임펄스 응답 에 $e^{s_{\infty}t}$ 기여를 갖습니다 . 극이 왼쪽 절반 평면에있는 경우 $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ 는 음의 실수 부 $\sigma_{\infty}<0$ 갖습니다. 그래서

e^{s_{\infty} t} = e^{σ_{\infty}} e^{j ω_{\infty}}

$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$

는 $\sigma_{\infty}<0$ 이므로 지수 적으로 감쇠 된 함수이며 커지지 않지만 쇠퇴 합니다.

Q3 : 이 질문이 여기에 속합니까?

다른 커뮤니티 회원은이 질문이 여기에 속하는지 판단해야합니다. 나는 그렇게 생각합니다. 순수한 DSP와 직접 관련이있는 것은 아니지만 DSP 엔지니어는 AD 변환 전에 아날로그 신호 및 시스템을 다루어야하는 경우가 많으므로 지속적인 시스템 이론에 대해서도 알고 있습니다. 둘째, 거의 모든 DSP 사람들 (적어도 전통적인 훈련을받은 사람들)은 연속 시간 및 이산 시간 시스템을 포함한 일반적인 신호 및 시스템 이론에 상당히 노출되었습니다.

그건 그렇고, 이산 시간 시스템 의 경우 Laplace-transform 대신 $\mathcal{Z}$ -transform 을 얻습니다. 복잡한 변수는 이제 대신 $z$ 입니다 . 언급 한 변수 는 로 정의되며 주로 코딩 문헌에서 사용됩니다. 정의에 따라 지연 요소를 나타내므로 는 "지연"( "디지털"이 아님)을 나타냅니다. $s$ $D$ $D=z^{-1}$ $D$

complex $s$ 평면의 왼쪽 절반 평면이 complex $z$ 평면 의 단위 원 내부 영역에 매핑 됨을 알고있는 경우 (예 : $|z|<1$ ), and the $j\omega$ -axis maps to the unit circle $|z|=1$ , then almost everything you know about one of the two domains will easily carry over to the other domain.

— Matt L.
소스

I think that frequency response involves complex conjugation in addition s in H(s) for s=jω.

— Val

One thing that really helped me understand poles and zeros is to visualize them as amplitude surfaces. Several of these plots can be found in A Filter Primer. Some notes:

It's probably easier to learn the analog S plane first, and after you understand it, then learn how the digital Z plane works.
A zero is a point at which the gain of the transfer function is zero.
A pole is a point at which the gain of the transfer function is infinite.
Often there are zeros or poles at infinity, which aren't always included in descriptions of the transfer function, but are necessary to understand it.
S 평면의 주파수 응답은 jω 축을 따라서 만 발생합니다.
- 원점은 0Hz 또는 DC이며 필터의 차단 주파수는 원점에서 반경 방향으로 멀어집니다. 원점에서 특정 거리에있는 원을 따라 임의의 지점에 극을 놓으면 동일한 차단 주파수가 생성됩니다.
- 필터의 차단 주파수를 높이려면 극을 방사형 바깥쪽으로 움직입니다.
- 바이 쿼드 필터의 Q를 높이려면 극을 jω 축쪽으로 원을 따라 이동하여 차단 주파수를 일정하게 유지하지만 극이 주파수 응답에 미치는 영향을 증가시켜 더 "피크"하게 만듭니다.
jω 축에 0이 표시되면 해당 주파수에서 주파수 응답이 0으로 떨어집니다. 해당 주파수에서 사인파를 입력하면 출력은 0이됩니다.
jω 축에 극이 나타나면 임펄스 응답은 오실레이터입니다. 임펄스가 있으면 해당 주파수에서 영원히 울립니다. 임펄스에는 한정된 에너지가 있지만 필터의 응답에는 무한한 에너지가 있으므로 무한 이득을 갖습니다.

간단한 예는 적분기 H (s) = 1 / s입니다.

s가 무한한 경우이 함수는 0과 같으므로 무한대에는 0이 있습니다.
이 함수는 s가 0 일 때 무한대와 같으므로 극점이 0입니다.

즉, DC에서 무한 이득을 가지며 (적분기의 스텝 응답이 계속 증가 함) 주파수가 증가함에 따라 이득이 감소합니다.

Bode plot of integrator

가상 축을 따라 원점에서 멀리 떨어진 S 평면의 왼쪽으로 이동하면 jw 축에서 0Hz의 게인이 다시 유한하게되고 이제 저역 통과 필터가 있습니다.

enter image description here

— endolith
소스

+1, nice answer. But I don't understand what you mean by "Any point along a circle at a certain distance from the origin has the same frequency." Curves of constant frequency in the

s

$s$ -plane are lines parallel to the real axis. For circles with origin at

s = 0

$s=0$ you get

σ^{2} + ω^{2} = c o n s t

$\sigma^2+\omega^2=const$ , where

s = σ + j ω

$s=\sigma+j\omega$ .

— Matt L.

He seems to confuse s-plane with z-plane

— Val

@MattL.: Hmmm. I'm thinking of the poles of a Nth-order Butterworth filter being along a circle equidistant from the origin, for instance, or the poles of a biquad moving along a circle equidistant from the origin as you adjust the Q of the filter while keeping the frequency constant, or changing the cutoff of a filter by moving the poles closer to or away from the origin in a radial direction, or converting lowpass to highpass by inverting the poles about the unit circle. How should I reword this?

— endolith

@Val: Cutoff frequency. I've already edited the post to correct it.

— endolith

Val, No need for a douchy snarky comment to @endolith.

— Spacey

I won't tell the full mapping from poles(1)/zeroes(0) to the frequency response but I think I can explain the connection between frequency and zero/infinite response, why do you have infinite/zero response at $e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$ i.e. what $e^{-jw}$ has to do with $z$ .

The general form of the linear system is

y_{n} + a_{1} y_{n - 1} + a_{2} y_{n - 2} + \dots = b_{0} x_{n} + b_{1} x_{n - 1} + b_{2} x_{n - 2} + \dots,

$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$ which can be solved in z-from as

Y (z) = \frac{(b_{0} + b_{1} z + b_{2} z^{2} + \dots)}{(1 + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots)} X (z) = H (z) X (z) = \frac{(1 - z_{0} z) (1 - z_{1} z) \dots}{(1 - p_{0} z) (1 - p_{1} z) \dots} X (z) .

$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$

In the end, the series of binomial products $(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$ can be considered as a series of systems, where first output, is the input for another.

I would like to analyze the effect of single pole and zero. Let's single out the first zero, considering it the transfer function so that the rest of $H(z)X(z)$ is the input signal, $Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$ which corresponds to some $y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$ Let's take $b_0=b_1=1$ for simplicity. I mean that $y_n = x_n + x_{n-1}$ .

What we want to determine the effect of the system H(z) upon harmonic signal. That is, the input is going to be test signal

x_{n} = e^{j w n} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{j w} z + e^{2 j w} z^{2} + \dots = 1 / (1 - e^{j w}) = X (z) .

$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$ The response is going to be

y_{n} = x_{n} + x_{n - 1} |_{x_{n} = e^{j w n}} = e^{j w n} + e^{j w (n - 1)} = e^{j w n} (1 + e^{- j w})

$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$ that is,

1 + e^{- j w}

$1+e^{-jw}$ is the transfer function or

Y (z) = \frac{(1 + z)}{(1 - e^{j w} z)} = (1 + z) X (z)

$Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$ .

Please note that $1+z$ basically says that output is sum of input signal plus shifted signal, since single $z$ stands for single clock delay in time domain.

Now, as explained in, $H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$ . Cosine makes it to behave like low-pass filter

{\begin{cases} w = 0 & \Rightarrow & H (j 0) = 1 \cdot 2 \cos (0) = 2 \\ w = π & \Rightarrow & H (j π) = e^{j π / 2} 2 \cos (π / 2) = 0 \end{cases}

$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$

It is also a good lesson that you get $2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$ because you will supply the real signals rather than complex imaginary ones in real life.

LTI with impulse response = {1,-1} is $y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$ has transfer function of $H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$ , which has zero at $w=0$ since $sin(0)=0$ but it can be found from the frequency response

H (j w) = 1 - e^{- j w} = 0 \Rightarrow e^{- j w} = 1 = e^{0} \Rightarrow w = 0.

$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$

After the textbooks, I can spot the surprising coincidence between transfer function $H(z) = 1\pm z$ and frequency response $H(jw)=1\pm e^{-jw}$ . That is, z somehow corresponds to $e^{-jw}$ , which is important for zero/pole analysis. I read it like

sine z-factor stands for a clock shift and $y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$ means that next sample is $\pm$ previous one to get zero response, we need to have $1\pm z=0$ in front of X(z). But, the frequency domain basis functions $e^{jwn}$ evolve by multiplying current value $e^{jw(n-1)}$ with $e^{jw}$ every clock. Therefore, we have $e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$ as condition for constant zero output. The latter $1\pm e^{-jw}$ matches perfectly with zero transfer function $1\pm z=0$ .

In general, single-zero LTI is given by $y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$ or

Y (z) = (b_{0} + b_{1} z) X (z) = (b_{0} + b_{1} z) (1 + x_{1} z + x_{2} z^{2} + \dots) = b_{0} + (b_{0} x_{1} + b_{1} x_{0}) z + (b_{0} x_{2} + b_{1} x_{1}) z^{2} + \dots .

$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$ When

b_{0} + b_{1} z = 0

$b_0+b_1 z = 0$ , i.e. when

z = - b_{0} / b_{1},

$z=-b_0/b_1,$ whereas frequency response is,

y_{n} (x_{n} = e^{j w n}) = b_{0} e^{j w n} + b_{1} e^{j w (n - 1)} = e^{j w n} (b_{0} + b_{1} e^{- j w}) = e^{j w n} b_{0} (1 - z_{0} e^{- j w}),

$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$

which goes to zero when $1-z_0 e^{-jw} = 0$ or $e^{-jw} = 1/z_0$ , which matches the computation for $z$ if $z=e^{-jw}$ . The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio $1/z_0= e^{-jw}$ by choosing appropriate frequency $w$ , a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency $w$ so that zero $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

Now, what about the poles? Let's single out a single pole $a$ . The system has a from of $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$ , under assumption $y_0 = 0$ , has z-transform of $Y(z) = X(z)/(1-az)$ .

The feedback $a$ is equivalent to infinite impulse response ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$ . It says that response is infinite when $z=1/a$ . What does it mean if we apply the test signal

x_{n} = e^{j w n} \overset{z}{\leftrightarrow} X (z) = 1 + e^{j w} z + e^{2 j w} z^{2} + \dots = 1 / (1 - e^{j w} z)

$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$ to our system? We'll get

Y (z) = \frac{1}{1 - a z} \frac{1}{1 - e^{j w} z},

$Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$ or

y_{n} = e^{j w n} + a e^{j w (n - 1)} + a^{2} e^{j w (n - 2)} + \dots = e^{j w n} (1 + a e^{- j w} + a^{2} e^{- 2 j w} + \dots) = \frac{e^{j w n}}{1 - a e^{- j w}} .

$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$ That is, frequency response is

1 / (1 - a e^{- j w}),

$1/(1-ae^{-jw}),$ which goes to infinity when

e^{- j w} = 1 / a,

$e^{-jw}=1/a,$ the same as

z_{p o l e}

$z_{pole}$ above,

e^{- j w} = z_{p o l e} = 1 / a

$e^{-jw}=z_{pole}=1/a$ . But again, you can not always arrive at the pole

1 / a

$1/a$ adjusting the frequency

w

$w$ alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like

(k e^{j w})^{n}

$(ke^{jw})^n$ .

That is, zeroes or poles of the transfer function $H(z)$ happen to match the zeroes and poles of frequency response $H(jw)$ , which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ in case of zeroes. The fact that $e^{jwn}$ scales exponentially over time, along with the system with feedback $a$ , also seems to be the key for matching between $e^{jw}$ and $z_{poles}$ . It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of $e^{jwn}$ , the basis function must also have adjustable amplitude factor $k^n$ .

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.

— Valentin Tihomirov
소스