비대칭 베르누이 행렬이 RIP를 충족합니까?

정의 $n\times N$ 감지 매트릭스 $A$ 으로 $A_{ij} = 0$ 확률로 $p$ , $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ 확률로 $1-p$ . 않습니다 $A$ 제한된 등거리 변환 특성을 만족 시키는가?

참고로 대칭 사례는 다음 백서에 나와 있습니다.

RG Baraniuk, MA Davenport, RA DeVore 및 MB Wakin, "임의 행렬에 대한 제한된 등거리 변환 특성에 대한 간단한 증거", Constructive Approximation, 28 (3) pp. 253-263, 2008 년 12 월. ( pdf )

compressive-sensing

— 올리비아
소스

이것은 포인터 일 수 있습니다 : ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379 (불행히도 페이 월드이며 OA 사본을 찾지 못했습니다). 나는 그 논문을 자세하게 알지 못하지만, 한 눈에 볼 수있는 것은 그들이 요구하는 일반적인 경우를 고려하지 않는다는 것입니다. 그들은 p = 1/2로 간주합니다. 또한, 나는 그들이 그러한 행렬의 RIP에 대해 얼마나 철저한 지 모른다.

— Thomas Arildsen 2016 년

힌트도 있습니다 : rauhut.ins.uni-bonn.de/RauhutSlidesLinz.pdf (페이지 98). 불행히도, 그가 부르는 Bernoulli 랜덤 변수는 0/1이 아닌 랜덤 +/- 1입니다 (이 Rademacher라고 부릅니다).

— Thomas Arildsen 2016 년

통계 에 대한 동일한 게시물 (현재 삭제 된)에 대해 작성한 의견의 요점을 반복 할 수 있습니다 .SE :이 질문을보다 정확하게하고 정확히 관심이있는 내용과 적응하기 위해 고군분투하는 것을 나타내는 데 도움이됩니다. @Thomas의 의견은 관련이 있습니다. 우리는 또한 당신이 관심을 갖는 희소성의 정도 (즉, 순서)를 알지 못합니다. 우리가 Rademacher 기능을 고려하더라도, 그 대답은 분명히 어떤 균일도 없습니다 (

p

$p$ ) 감각,하자

p

$p$ 있다

1

$1$ (또는, 충분히 근접하여) 서브 매트릭스가 모두 하나 일 가능성이 높다. (계속)

— 추기경

시퀀스를 선택함으로써

p_{n} \in (0, 1)

$p_n \in (0,1)$ 의 기능으로

n

$n$ , 이것은 일부 사람들에게 적용됩니다

p

$p$ 모든 크기 매트릭스 한편, 고정

p

$p$ , 구성을 수정하여

A_{i j} = (1 - p) / \sqrt{n}

$A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$ 확률로

p

$p$ 과

- p / \sqrt{n}

$-p/\sqrt{n}$ 확률로

(1 - p)

$(1-p)$ 그 답은 분명히 그렇습니다 . 왜냐하면 이것은 제로 평균 서브 가우시안 랜덤 행렬과 관련된 훨씬 일반적인 이론에서 나옵니다.

— 추기경

@ cardinal 감사합니다, 매트릭스

A

$A$ 는 제로 평균이 아니지만 서브 가우시안 랜덤 매트릭스 이론이이 질문에 답합니다. 어떻게 궁금해

A

$A$ 표준을 유지하지 않으면 RIP를 만족시킬 수 있지만 적절한 스케일링이 있음이 분명합니다.

A

$A$ 않는

— 올리비아

다른 사람들이 의견에 언급했듯이 대답은 "아니오"입니다. 행렬의 0이 아닌 평균은 0이 아닌 평균 벡터 (예를 들어, 모든 것)가 평균이 0 인 랜덤 벡터 (즉, 랜덤하게 + 1, -1)보다 실질적으로 더 높은 이득을 갖도록 지시한다.

상수 벡터 y가 n * (p * N) ^ 2 일 것으로 예상되는 A의 제곱 규범을 고려하십시오. (예상 반복)

(-1, + 1)에서 균일하게 그려진 벡터 x에 A의 제곱 규범은 n * (p * N) 일 것으로 예상됩니다. (이항 분포의 분산의 합으로 계산 가능)

x와 y의 규범은 동일하지만 변환 된 규범의 기대치는 p * N의 계수에 따라 다릅니다.

다음은 시연을 돕는 matlab 코드입니다.

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;

— 마크 보거 딩
소스