스텝이 큰 차를 사용하여 신호의 평활 도함수 계산

에서 샘플링 된 신호가 있는데, 여기서 i = 0..n-1입니다. 신호의 첫 번째 미분을 찾고 싶습니다 : f '(t).$\Delta t: fi(ti=i\Delta t)$

나의 첫 번째 생각은 이것을 중심 차이점으로 추정하는 것이 었습니다.

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+1})−f(t_{i−1})}{2\Delta t}$

그러나 신호에는 f '의 빠른 변동을 유발할 수있는 많은 고주파 노이즈가있을 수 있습니다. Hann과 같은 창 함수와 관련하여 신호를 부드럽게 한 다음 그 차이에서 파생 된 것을 찾는 것이 적절한 것이라고 생각합니다.

동료는 미분의 평활 추정값을 찾는 더 빠른 방법을 제안했습니다. n >> 1 :

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+n})−f(t_{i−n})}{2n\Delta t}$

이것은 물론 창 함수로 처음 시작하는 것보다 계산 속도가 빠르지 만 좋은 솔루션입니까?

우리가 합계를 형성하면 :

$S=2\Delta t[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

단계와 중심 차이로 각 미분을 확장합니다 $\Delta t$:

$S=f(t_{i-n+2})-f(t_{i-n})+f(t_{i-n+3})-f(t_{i-n+2})+..+f(t_{i+n})-f(t_{i+n-2})$

두 개를 제외한 모든 용어가 취소됩니다.

$S=f(t_{i+n})-f(t_{i-n})=2n\Delta tf'(t_i)$

따라서:

$f'(t_i)=\frac{1}{n}[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

따라서 2n 샘플에 대한 중심 차이를 취하는 것은 먼저 2n-2 크기의 직사각형 창으로 얽힌 다음 +/- 1 샘플에 대한 중심 차이를 취하는 것과 같습니다.

직사각형 창으로 매끄럽게 만드는 것이 "나쁜"방법은 무엇입니까?

FFT를 취하면 "벨소리"가 발생하지만 FFT를 취할 필요는 없습니다.

모든 답변에 미리 감사드립니다!

이것은 일반적으로 다루기 어려운 질문입니다. 직사각형 윈도우를 사용한 스무딩은 항상 사용되며 ( "이동 평균"이라고도 함) 반드시 문제가되지는 않습니다. 사각형 창 주파수 응답의 사이드 로브가 무엇인지 언급하지 않습니다.

차별화는 본질적으로 고역 통과 작업입니다. 이상적인 연속 시간 미분기에는 다음과 같은 전달 기능이 있습니다.

따라서 크기 응답은 다음과 같습니다.

따라서 미분기의 이득은 주파수에 따라 단조 증가합니다. 신호에 고주파 노이즈가 포함되어 있으면 미분기를 적용하여 증폭 할 수 있습니다. 이를 방지하기 위해 두 가지 접근 방식이 분명합니다.

• 관심있는 신호를 커버하는 대역 부분에 대해 원하는 선형 크기 응답을 갖는보다 정교한 미분기 필터를 설계 한 다음 더 높은 주파수를 크게 감쇠시킵니다. 예를 들어 최소 자승법 또는 주파수 샘플링 방법을 사용하여 이러한 필터를 설계 할 수 있습니다.

• 저역 통과 필터를 사용할 수있는 모든 고주파 노이즈를 먼저 억제 한 다음 미분기를 따르는 캐스케이드 방식을 사용하십시오. 저역 통과 필터가 대역 외 잡음을 제거하므로 미분기의 주파수 범위를 좁힐 필요는 없다.

선형 필터를 사용하는 경우 메소드는 거의 동일해야합니다. 첫 번째 단일 필터 방식은 차별화 요소와 저역 통과 필터의 계단식으로 생각할 수 있습니다. 앞서 언급했듯이 중심 차분 방식은 이러한 방식으로 모델링 할 수 있습니다. 응용 프로그램에 대한 지식이 없으면 "나쁜"사람이라고 말하기가 어렵습니다. 저의 주요 생각은 평활화 작업이 관심 신호를 유형적으로 감쇠시켜 미분 추정값이 더 이상 유용하지 않으면 "나쁜"것입니다. 그러나 신호의 매개 변수가 신호를 눈에 띄게 왜곡시키지 않고 노이즈를 부드럽게 할 수있는 경우 (즉, 신호가 오버 샘플링 된 경우) 승리 할 수 ​​있습니다.