이동 평균 필터의 차단 주파수는 무엇입니까?

컷오프 주파수가 7.8Hz 인 이동 평균 필터를 설계해야합니다. 나는 이전에 이동 평균 필터를 사용했지만, 내가 아는 한, 공급 될 수있는 유일한 매개 변수는 평균을 내야 할 포인트의 수입니다 ... 어떻게 차단 주파수와 관련이 있습니까?

7.8Hz의 역수는 ~ 130ms이며, 1000Hz에서 샘플링 된 데이터로 작업하고 있습니다. 이것은 130 샘플의 이동 평균 필터 창 크기를 사용해야한다는 것을 의미합니까, 아니면 여기에 누락 된 것이 있습니까?

이동 평균 필터 (때로는 박스 카 필터 라고도 함 )는 직사각형 임펄스 응답을 갖습니다.

$$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$$

또는 다르게 언급하십시오.

$$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$$

이산 시간 시스템의 주파수 응답이 임펄스 응답 의 이산 시간 푸리에 변환 과 같다는 것을 기억 하여 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$$

이를 단순화하기 위해 기하 급수 의 첫 번째 항의 합으로$N$ 알려진 공식을 사용할 수 있습니다 .

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$$

우리가 귀하의 경우에 가장 관심있어하는 필터의 크기 응답입니다 . 몇 가지 간단한 조작을 사용하면 이해하기 쉬운 형태로 얻을 수 있습니다.$|H(\omega)|$

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$$

이해하기 쉽지 않을 수 있습니다. 그러나 오일러의 정체성 으로 인해 다음을 기억하십시오.

$$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$$

따라서 위와 같이 작성할 수 있습니다.

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$$

앞에서 언급했듯이, 실제로 우려하는 것은 주파수 응답의 크기입니다. 따라서 위의 크기를 더 단순화하여 더 단순화 할 수 있습니다.

$$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$$

참고 : 지수 항은 결과의 크기에 영향을 미치지 않기 때문에 제거 할 수 있습니다. 의 모든 값에 대한 ω . 이후 | x y | = | x | | y | 두 개의 유한 복소수 x 와 y 에 대해 지수 항의 존재는 전체 크기 반응에 영향을 미치지 않는다 (대신 시스템의 위상 반응에 영향을 미침).$|e^{j\omega}| = 1$$\omega$$|xy| = |x||y|$$x$$y$

크기 괄호 안의 결과 함수는 Dirichlet 커널 의 한 형태입니다 . 그것은 때때로이라고 주기적인 싱크 가 유사하기 때문에, 기능 싱크 기능을 외관에 다소 대신 주기적이다.

어쨌든 컷오프 주파수의 정의가 다소 지정되지 않았기 때문에 (-3dB 포인트? -6dB 포인트? 첫 번째 사이드 로브 null?) 위의 방정식을 사용하여 필요한 모든 것을 해결할 수 있습니다. 특히 다음을 수행 할 수 있습니다.

1. 세트 차단 주파수에서 원하는 필터 응답에 해당하는 값.$|H(\omega)|$

2. 를 차단 주파수와 동일하게 설정하십시오 . 연속 시간 주파수를 이산 시간 도메인에 매핑하려면 ω = 2 π $\omega$ 어디F들샘플 속도입니다.$\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$$f_s$

3. 방정식의 왼쪽과 오른쪽이 가장 잘 일치하는 값을 찾으십시오 . 이동 평균의 길이 여야합니다.$N$

경우 이동 평균, 그때 대략 차단 주파수의 길이 F C O (유효 N > = 2 규격화 주파수) F가 = F / F (S) 이다$N$$F_{co}$$N >= 2$$F=f/fs$

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

이것의 반대는

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

이 공식은 큰 N에 대해 점증 적으로 정확하며 N = 2의 경우 약 2 %, N> = 4의 경우 0.5 % 미만입니다.

추신 : 2 년 후 여기에 마지막으로 어떤 접근 방식이 뒤따 랐습니다. 결과는 주위의 MA 진폭 스펙트럼을 포물선 (2 차 시리즈) 으로 근사화 한 결과를 기반으로 합니다.$f=0$

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

의 제로 크로싱 근처에서 더 정확하게 만들 수 있습니다.$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$$\Omega$

$\alpha=0.95264$

$MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$$2\pi F_{co}=\Omega_{co}$

위의 모든 내용은이 게시물의 주제 인 -3dB 차단 주파수와 관련이 있습니다.

때때로 주어진 -3dB 차단 주파수를 갖는 1 차 IIR 저역 통과 필터 (단극 LPF)와 비슷한 정지 대역에서 감쇠 프로파일을 얻는 것이 흥미롭지 만 (LPF를 누설 통합 기라고도 함), DC에 정확하게 있지 않지만 근처에 극을 갖는 것).

$F=k/N$$1/f$$1/f$

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

이 IIR 필터와 유사한 노이즈 필터링 기능을 가진 MA 필터를 얻고 2 개의 스펙트럼을 비교할 때 3dB 차단 주파수를 동일하게 일치 시키려면 MA 필터의 정지 대역 리플이 발생한다는 것을 알 수 있습니다 IIR 필터보다 3dB 낮습니다.

IIR 필터와 동일한 정지 대역 리플 (즉, 동일한 잡음 전력 감쇠)을 얻기 위해 다음과 같이 공식을 수정할 수 있습니다.

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$