10 진수로 표현할 수 없지만 2 진수로 표현할 수있는 숫자가 있습니까?

C#갖는 decimal유형 예를 들어베이스 (10)의 정확한 표현을 필요로 번호를 사용하고, 0.1베이스 (2)에서 표현 될 수 없다 (예를 들어, float및 double)과 항상 이러한 유형의 변수에 저장된 근사 할 것이다.

반대의 사실도 가능했는지 궁금했습니다. 10 진수로 표현할 수 없지만 2 진수로 표현할 수있는 숫자가 있습니까 (이 경우 a float대신에 a decimal를 사용 하여 처리하고 싶습니다)?

다음 10은 quandary의 핵심 입니다. 2및 의 곱입니다 5. 는 K *이 1/2이 정확하게 기지를 10 진수 숫자를 나타낼 수 ^N * 1/5 ^m 여기서 k, n및 m정수이다.

대안 적으로 말하면 n-1 / n 의 숫자 에 밑의 인수에 속하지 않는 요소가 포함 된 경우, 이진수 / 소수 / 소수 확장에서 숫자는 고정 된 자릿수로 정확하게 표현 될 수 없습니다 숫자-반복되는 부분이 있습니다. 예를 들어 1/15 = 0.0666666666 ....은 3 (15 = 3 * 5)이 10의 인수가 아니기 때문입니다.

따라서,베이스 2에서 정확하게 (k * 1/2 ⁿ ) 표현 될 수있는 것은베이스 10에서 정확하게 표현 될 수 있습니다.

그 외에도 숫자를 나타내는 데 몇 자릿수 / 비트가 사용되는지에 대한 문제가 있습니다. 어떤베이스에는 정확하게 표현할 수있는 숫자가 있지만, 몇 자릿수 / 비트 이상이 필요합니다.

이진수에서 1/10은 편리하게 10 진수 0.1이며 이진수로 고정 된 비트 수로 표현할 수있는 숫자로 표현할 수 없습니다. 대신 숫자는 0.00011001100110011 ... _2입니다 (0011 부분이 영원히 반복됨).

숫자 1 ₂ / 1010 ₂ 를 조금 더 자세히 살펴 보겠습니다 .

          ____                  
       0.00011                  
     + ---------                 
1010 | 1.00000                  
       0                        
       -                       
       1 0                      
         0                      
       ----                     
       1 00 --------- +          
          0 |          
       ----- |          
       1,000 |          
           0 |          
       ------ | 반복
       1 0000 | 블록    
         1010 |          
       ------ |          
          1100 |          
          1010 |          
          ---- |          
            100 ---- +          

이것은 1/3의 긴 나눗셈을 할 때 얻는 것과 정확히 같은 유형입니다.

1/10 인 경우 1 / (2 ¹ * 5 ¹ )입니다. 기수 10 (또는 10의 배수)의 경우이 숫자는 종료되며 일반 숫자 로 알려져 있습니다. 반복되는 10 진수 확장을 반복 10 진수라고하며 반복 하지 않고 영원히 계속되는 숫자는 비이성적 인 숫자입니다.

이 배후 의 수학은 Fermat의 작은 정리를 탐구 하고 일단 Fermat 또는 정리를 말하기 시작하면 Math.SE 질문이 됩니다.

10 진수로 표현할 수 없지만 2 진수로 표현할 수있는 숫자가 있습니까?

내 대답은 아니오 야'.

따라서이 시점에서 우리는 합리적인 숫자의 모든 고정 길이 이진 확장이 고정 길이 십진 확장으로 표현 될 수 있음을 분명히해야합니다.

수 있습니다 C #에서 소수점 좀 더 자세히 살펴 으로 우리를 인도 .NET에서 진수 부동 소수점 과 저자를 주어, 나는 그것이 어떻게 작동하는지 그 그게 전부를 받아 들일 수 있습니다.

10 진수 유형은 다른 부동 소수점 숫자와 동일한 구성 요소를 갖습니다. 가수, 지수 및 부호. 평소와 같이 부호는 단일 비트이지만 96 비트의 가수와 5 비트의 지수가 있습니다. 그러나 모든 지수 조합이 유효한 것은 아닙니다. 값 0-28 만 작동하며 사실상 모두 음수입니다 . 숫자 값은 입니다. 이는 유형의 최대 값과 최소값이 +/- (2 ^96-1 )이고 절대 크기 측면에서 0이 아닌 가장 작은 숫자는 ^10-28 입니다.sign * mantissa / 10exponent

이 구현으로 인해 double표현할 수없는 유형의 숫자 decimal가 범위를 벗어난 숫자가 있음을 즉시 지적 합니다. Double.Epsilon되는 4.94065645841247e-324A의 표현 될 수없는 decimalA의, 그러나 캔 double.

그러나 10 진수가 표시 할 수있는 범위 내에서 다른 기본 유형보다 정밀도가 더 높고 오류없이 표시 할 수 있습니다.

떠 다니는 다른 유형이 있습니다. C # 에는 임의로 큰 정수를 나타낼 수 있는 BigInteger 가 있습니다. Java의 BigDecimal (최대 2 ³² 자리 의 10 진수로 숫자를 나타낼 수 있음 )과 정확히 일치하는 것은 없습니다 . 그러나 약간 찌르면 수동 구현을 찾을 수 있습니다.

합리적 데이터 유형 을 가진 일부 언어가 있는데, 이를 통해 합리적 표현을 정확하게 표현할 수 있습니다 (1/3이 실제로 1/3 임).

C #과 float 또는 합리적인 선택을 위해 특별히 .NET 의 Decimal floating pint에서 Jon Skeet을 연기합니다 .

대부분의 비즈니스 응용 프로그램은 아마도 부동 또는 이중이 아닌 십진수를 사용해야합니다. 필자의 경험에 따르면 통화와 같은 인공 값은 일반적으로 십진 부동 소수점으로 더 잘 표현됩니다. 예를 들어 정확히 1.25 달러의 개념은 전적으로 합리적입니다. 길이 및 무게와 같은 자연 세계의 값의 경우 이진 부동 소수점 유형이 더 적합합니다. 이론적으로 "정확하게 1.25 미터"가 있더라도 실제로는 결코 발생하지 않을 것입니다. 정확한 길이를 측정 할 수 없으며 원자 수준에서도 존재하지 않을 것입니다. 우리는 특정한 관용이 관여하는 데 익숙합니다.

허용 가능한 값의 범위를 벗어나면 답이 예입니다. 즉, 범위 내의 거의 모든 것이 표현됩니다. C # 10 진수 참조 사양에 명시되어 있지 않지만 비이성적 인 숫자는 정확하게 표현할 수 없습니다 (예 : e ¹ , pi, 2의 제곱근 등).

decimal 키워드는 128 비트 데이터 형식을 나타냅니다. 부동 소수점 유형과 비교하여 10 진수 유형은 정밀도가 높고 범위가 작으므로 재무 및 금전적 계산에 적합합니다. 10 진수 유형의 대략적인 범위와 정밀도는 다음 표에 나와 있습니다.

정밀도 : 유효 숫자 28-29 자리

¹ 다른 비이성적 인 번호를 상기시켜 준 MichaelT에게 감사합니다.

기수 2 부동 소수점 유형은 같은 크기의 기수 10 유형 이 할 수 없었던 많은 값을 정확하게 나타낼 수 있습니다. 어떤 크기의 base-2 유형으로 정확하게 표현 될 수있는 모든 값은 충분한 크기의 base- 10 유형으로 정확하게 표현 될 수 있습니다. 이진 부동 소수점 수의 모든 값을 나타내는 순수 10 진법 유형의 필수 크기는 이진 유형의 지수 범위에 따라 다릅니다. 에 대한 수백 비트 float, 또는에 대한 수천 비트 double.

말했듯이, Decimal유형은 다른 숫자 프리미티브의 값을 보유하고 다른 추가 기능을 제공 할 수있는 "범용"유형으로 사용할 수있을만큼 충분히 큽니다 (아무것도 없다면 1 비트를 사용하십시오) 저장된 값이를 변환 한 결과인지 여부를 표시 double하고 해당 비트가 설정된 경우 64 비트를 사용하여 해당 값을 보유하십시오. 그러나 마이크로 소프트는 그렇게하지 않기로 결정했다. 결과적으로 큰 값 의 경우 doubleto 변환은 Decimal완전히 실패하고 작은 값은 가장 가까운 1E-28로 반올림됩니다. 또한 동적 범위 내에서도decimal, 변환 방법은 "왕복"하지 않습니다. 예를 들어, 1.0 / 3.0을 double로 평가하면 0.3333333333333333148이 생성되지만 10 진수로 변환하면 0.333333333333333m이 생성되고 다시 double로 변환하면 0.3333333333333329818이 생성됩니다.